3福井大学 2016年 数学 第3問解答・解説

(1) $P$ は $OA$ を $x:(1-x)$ に内分するから、$\overrightarrow{OP}=x\vec a$ である。直線 $PC$ 上の点を $$X=x\vec a+t\{\vec b-(1+x)\vec a\}$$ とおく。$Q$ は直線 $OB$ 上にあるので、$X$ の $\vec a$ の係数が $0$ である。したがって $x-t(1+x)=0$、すなわち $t=x/(1+x)$ となり、 $$\displaystyle \overrightarrow{OQ}=\frac{x}{1+x}\vec b.$$

(2) $y=x/(1+x)$ とおけば $\overrightarrow{OQ}=y\vec b$ である。直線 $QD$ 上の点は $$X=s\vec a+\{y+s(1-y)\}\vec b$$ と表せる。直線 $AB$ 上では $\vec a,\vec b$ の係数の和が $1$ だから、$s+y+s(1-y)=1$。これより $$\displaystyle s=\frac{1-y}{2-y}=\frac1{x+2},\qquad y+s(1-y)=\frac{x+1}{x+2},$$ したがって $$\displaystyle \overrightarrow{OR}=\frac1{x+2}\vec a+\frac{x+1}{x+2}\vec b.$$

(3) $\vec a,\vec b$ の係数を座標とすると、$P=(x,0)$、$R=(1/(x+2),(x+1)/(x+2))$、$E=(1,-1)$ である。$R-P$ と $E-P$ が平行となる条件を成分で表す。$E-P$ の第2成分は $-1$ なので、二つの成分の積を比較すると $$\displaystyle -\left(\frac1{x+2}-x\right)-(1-x)\frac{x+1}{x+2}=0 \quad\text{すなわち}\quad \frac{2(x^2+x-1)}{x+2}=0.$$ ここで $x+2>0$ なので $x^2+x-1=0$。範囲 $0<x<1$ に入る解は $$\displaystyle x=\frac{\sqrt5-1}{2}.$$

(4) この $x$ は $x^2+x=1$ を満たすので $x/(1+x)=x^2$。よって $\overrightarrow{PQ}=x^2\vec b-x\vec a$。また $|\vec a|=|\vec b|=1$、$\vec a\cdot\vec b=\cos(\pi/3)=1/2$ より、 $$PQ^2=x^4+x^2-x^3.$$ $x^2=1-x$、$x^3=2x-1$、$x^4=2-3x$ を代入すると $$PQ^2=4-6x=7-3\sqrt5.$$

交点を直線の媒介変数表示で求め、最後は係数座標で共線条件を処理する。得た二次方程式の許容根を選び、内積で距離の2乗を計算した。