2福井大学 2016年 数学 第2問解答・解説

(1) 双曲線を標準形 $$\displaystyle \frac{x^2}{A^2}-\frac{y^2}{B^2}=1$$ とする。焦点が $(5,0)$ だから $A^2+B^2=25$、漸近線の傾きから $B/A=k$。従って $$\displaystyle A^2=\frac{25}{1+k^2},\qquad B^2=\frac{25k^2}{1+k^2},$$ よって $$\displaystyle C:\quad \frac{1+k^2}{25}x^2-\frac{1+k^2}{25k^2}y^2=1.$$

(2) 直線 $m'$ と $\ell$、直線 $m$ と $\ell'$ の交点をそれぞれ求める。 $$\displaystyle \begin{aligned} m':\ y-b&=-k(x-a), & \ell:\ y&=kx,\\ P&=\left(\frac{a+b/k}{2},\frac{ka+b}{2}\right),\\[2pt] m:\ y-b&=k(x-a), & \ell':\ y&=-kx,\\ R&=\left(\frac{a-b/k}{2},\frac{b-ka}{2}\right). \end{aligned}$$

(3) (2)から $\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OR}=\overrightarrow{OQ}$ なので $OPQR$ は平行四辺形。底辺を $OP$ とすると $$\displaystyle |OP|=\frac{|ka+b|}{2k}\sqrt{1+k^2},\qquad h=\frac{|b-ka|}{\sqrt{1+k^2}}.$$ 従って $$\displaystyle S=|OP|h=\frac{|(ka+b)(b-ka)|}{2k} =\frac{|b^2-k^2a^2|}{2k}.$$ $Q=(a,b)$ は双曲線上なので $$\displaystyle k^2a^2-b^2=\frac{25k^2}{1+k^2}>0.$$ よって $$\displaystyle S=\frac{25k}{2(1+k^2)},$$ となり、面積は $Q$ の位置によらない。

(4) $(k-1)^2\ge0$ から $1+k^2\ge2k$。従って $$\displaystyle S=\frac{25k}{2(1+k^2)}\le\frac{25}{4}.$$ 等号は $k=1$ のときであり、最大値は $\displaystyle \frac{25}{4}$。

焦点距離と漸近線の傾きから双曲線の係数を決める。交点は二組の直線を連立して求める。$P+R=Q$ を用いて平行四辺形の面積を底辺と高さで表し、双曲線の式で $a,b$ を消す。最後は $1+k^2\ge2k$ を使う。