5岐阜大学 2026年 数学 第5問解答・解説

曲線 $H:x^2-y^2=-1\ (y>0)$ 上では $b^2-a^2=1$ である。したがって $b>|a|$ より $$u:=a+b>0,\qquad v:=b-a>0,\qquad uv=1.$$

(1) $x^2-y^2=-1$ を $x$ で微分すると $$\displaystyle 2x-2y\frac{dy}{dx}=0.$$ $y>0$ なので $$\displaystyle \boxed{\frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}}.$$

(2) Aでの接線の傾きは $a/b$。よって $$\displaystyle y-b=\frac{a}{b}(x-a) \quad\text{すなわち}\quad ax-by=a^2-b^2=-1,$$ したがって $\boxed{\ell:ax-by=-1}$。

(3) Pは $y=-x$ 上にあるから $u x_P=-1$。Qは $y=x$ 上にあるから $v x_Q=1$。ゆえに $$\displaystyle \boxed{P=\left(-\frac1u,\frac1u\right) =\left(-\frac1{a+b},\frac1{a+b}\right)},\qquad \boxed{Q=\left(\frac1v,\frac1v\right) =\left(\frac1{b-a},\frac1{b-a}\right)}.$$

(4) 直線 $OP$ は傾き $-1$、直線 $OQ$ は傾き $1$ なので直交する。また $OP=\sqrt2/u$、$OQ=\sqrt2/v$。したがって $$\displaystyle [OPQ]=\frac12\,OP\cdot OQ =\frac12\cdot\frac{\sqrt2}{u}\cdot\frac{\sqrt2}{v} =\frac1{uv}=\boxed{1}.$$

(5) P,Qの座標差から $$\displaystyle \begin{aligned} |PQ|^2 &=\left(\frac1u+\frac1v\right)^2+ \left(\frac1v-\frac1u\right)^2\\ &=2\left(\frac1{u^2}+\frac1{v^2}\right) =2(u^2+v^2), \end{aligned}$$ ここで $uv=1$ を用いた。さらに $$u^2+v^2-2=(u-v)^2\geq0.$$ ゆえに $|PQ|^2\geq4$。等号は $u=v=1$、すなわち $a=0,b=1$ のときに実現し、この点はH上にある。したがって $$\displaystyle \boxed{\min |PQ|=2}.$$