岐阜大学 2026年数学第3問解答・解説

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1問題

岐阜大学2026年度第3問

数列 $\{a_n\}$ を次のように定める。 $a_1=1,\quad a_2=3,\quad a_{n+2}=2a_{n+1}-a_n+2\quad(n=1,2,3,\dots)$ また、和 $\displaystyle S_n=\sum\limits _{k=1}^{n}a_k$ を $n$ で割った余りを $r_n$ とする。以下の問に答えよ。

(1) $c_n=a_{n+1}-a_n$ とおく。数列 $\{c_n\}$ の一般項 $c_n$ を求めよ。

(2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めよ。

(3) $S_n$ を求めよ。

(4) $r_n$ を求めよ。

(5) $r_n=2026$ となる $n$ を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$c_n=2n$
(2)
$a_n=n^2-n+1$
(3)
$S_n=n(n^2+2)/3$
(4)
$r_n=0 if 3 does not divide n; r_n=2n/3 if 3 divides n$
(5)
$n=3039$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

差 $c_n=a_{n+1}-a_n$ をとると $c_1=2$ , $c_{n+1}=c_n+2$ なので $c_n=2n$ 。これを足し上げて $a_n=n^2-n+1$ 、さらに和を計算して $\displaystyle S_n=\frac{n(n^2+2)}{3}$ を得る。 $3\nmid n$ なら $\displaystyle \frac{n^2+2}{3}$ は整数で余り0。 $n=3m$ なら $S_n=n(mn)+2m$ で $0\le2m<n$ なので余りは $\displaystyle \frac{2n}{3}$ 。 $r_n=2026$ から $n=3039$ 。

この問題で使う考え方

階差数列
和の公式による総和
3での合同式と余りの範囲

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