岐阜大学 2026年数学第4問解答・解説

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1問題

岐阜大学2026年度第4問

$n$ を自然数とする。また、 $k$ を $0\leq k\leq n$ を満たす整数とする。 $I(n,k)$ を $\displaystyle I(n,k)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-k}x\cos^{k}x\,dx$ とする。以下の問に答えよ。

(1) $I(2,0)$ と $I(2,1)$ の値を求めよ。

(2) $I(3,0)$ と $I(3,1)$ の値を求めよ。

(3) $I(n,k)=I(n,n-k)$ を示せ。

(4) $\alpha$ を $\displaystyle \cos\alpha=\frac{2\sqrt{5}}{5}\quad\left(0<\alpha<\frac{\pi}{2}\right)$ を満たす定数とする。次の定積分の値を求めよ。 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{4}(x+\alpha)\,dx$

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$(1) I(2,0)=π/4, I(2,1)=1/2$ 。 $(2) I(3,0)=2/3, I(3,1)=1/3$ 。 $(3) I(n,k)=I(n,n-k)$ 。 (4) 3π/16+2/5。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$\displaystyle \begin{aligned}\text{(1)}\quad I(2,0)&=\int_0^{\pi/2}\frac{1-\cos 2x}{2}\,dx=\frac{\pi}{4},\\I(2,1)&=\int_0^{\pi/2}\sin x\cos x\,dx=\left[\frac{\sin^2x}{2}\right]_0^{\pi/2}=\frac12.\\[2pt]\text{(2)}\quad I(3,0)&=\int_0^{\pi/2}\sin x(1-\cos^2x)\,dx=\int_0^1(1-t^2)\,dt=\frac23\quad(t=\cos x),\\I(3,1)&=\int_0^{\pi/2}\sin^2x\cos x\,dx=\int_0^1t^2\,dt=\frac13\quad(t=\sin x).\\[2pt]\text{(3)}\quad t=\frac{\pi}{2}-x\text{ とおくと}\\I(n,k)&=\int_0^{\pi/2}\sin^{n-k}x\cos^kx\,dx=\int_0^{\pi/2}\sin^kt\cos^{n-k}t\,dt=I(n,n-k).\\[2pt]\text{(4)}\quad \sin^4u&=\frac{3-4\cos2u+\cos4u}{8},\quad\int\sin^4(x+\alpha)\,dx=\frac{3x}{8}-\frac{\sin2(x+\alpha)}4+\frac{\sin4(x+\alpha)}{32}.\\\cos\alpha&=\frac{2\sqrt5}{5},\ 0<\alpha<\frac{\pi}{2}\text{ より }\sin\alpha=\frac1{\sqrt5},\ \sin2\alpha=\frac45.\\\int_0^{\pi/2}\sin^4(x+\alpha)\,dx&=\frac{3\pi}{16}+\frac{\sin2\alpha}{2}+\frac{\sin(2\pi+4\alpha)-\sin4\alpha}{32}=\boxed{\frac{3\pi}{16}+\frac25}.\end{aligned}$

この問題で使う考え方

置換積分
倍角公式

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