IV横浜市立大学 2026年 数学 第IV問解答・解説

(1) $x=\tan\theta$ とおくと、積分区間は $\displaystyle 0\le\theta\le\frac\pi4$、また $\displaystyle dx=\frac{1}{\cos^2\theta}\,d\theta$、$\displaystyle 1+x^2=\frac{1}{\cos^2\theta}$ である。したがって $$\displaystyle \int_0^1\frac{dx}{1+x^2} =\int_0^{\pi/4}1\,d\theta =\boxed{\frac\pi4}.$$

(2) $0\le x\le\pi/4$ で $\cos x>0$ である。 $$\displaystyle \begin{aligned} \frac{d}{dx}\log\frac{1+\sin x}{\cos x} &=\frac{\cos x}{1+\sin x}+\frac{\sin x}{\cos x}\\ &=\frac{\cos^2x+\sin x+\sin^2x}{(1+\sin x)\cos x} =\frac1{\cos x}. \end{aligned}$$ 従って $$\displaystyle \int_0^{\pi/4}\frac{dx}{\cos x} =\left[\log\frac{1+\sin x}{\cos x}\right]_0^{\pi/4} =\boxed{\log(1+\sqrt2)}.$$

(3) 部分積分を2回用いると $$\displaystyle \begin{aligned} \int_0^1x^2e^{-x}\,dx &=\left[-x^2e^{-x}\right]_0^1+2\int_0^1xe^{-x}\,dx\\ &=-\frac1e+2\left(\left[-xe^{-x}\right]_0^1+\int_0^1e^{-x}\,dx\right)\\ &=-\frac1e+2\left(-\frac1e+1-\frac1e\right) =\boxed{2-\frac5e}. \end{aligned}$$

(4) $\displaystyle t=\tan\frac{x}{2}$ とおくと $$\displaystyle dx=\frac{2}{1+t^2}\,dt,\qquad \sin x=\frac{2t}{1+t^2},\qquad \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}.$$ したがって $$\displaystyle \sin x+\cos x+1=\frac{2(1+t)}{1+t^2}, \qquad \frac{dx}{\sin x+\cos x+1}=\frac{dt}{1+t}.$$ よって、被積分関数が定義される各区間で $$\displaystyle \int\frac{dx}{\sin x+\cos x+1} =\boxed{\log\left|1+\tan\frac{x}{2}\right|+C}.$$