II横浜市立大学 2026年 数学 第II問解答・解説

(1)「2026のような数」は、各桁が0,2,6のいずれかである。千の位は2または6の2通り、残り3桁は各3通りだから、$2\cdot3^3=54$個。

(2) 0,2,6をそれぞれちょうど1回含む。4桁目は0,2,6以外の数字でなければならず、選び方は1,3,4,5,7,8,9の7通り。4つの異なる数字を並べる方法は $4!$ 通りだが、千の位が0となる $3!$ 通りは4桁でなくなるので除く。したがって $7(4!-3!)=126$個。

(3)「2026のような数」で、0,2,6のうちちょうど2種類を使う。使う2種類で場合分けする。0,2を使う場合、千の位は2に決まり、残る3桁は0,2のどちらか。ただし0が少なくとも1回必要なので $2^3-1=7$個。0,6の場合も同様に7個。2,6の場合は千の位制約がなく、$2^4$通りから2222と6666を除くので $2^4-2=14$個。合計 $7+7+14=28$個。

(4) この小問は「2026のような数」とは指定せず、0,2,6がそれぞれ1回以上現れる4桁の自然数を数える。4桁のうち3種類を少なくとも1回使うので、余分な1桁によって場合分けする。余分な数字が0のときは multiset 0,0,2,6 の並べ方 $4!/2!$ 通りから、千の位が0の $3!$ 通りを除いて6個。余分な数字が2なら $4!/2!-3!/2!=9$ 個、6でも9個。余分な数字が0,2,6以外なら7通りあり、4つの異なる数字の並べ方から千の位が0のものを除き、$7(4!-3!)=126$ 個。したがって $6+9+9+126=150$ 個。