III横浜市立大学 2026年 数学 第III問解答・解説

三角形$ABC$は$B$を直角とするので、$BC=a\tan\theta$である。また、$CD\perp AB$、$DE\perp CD$より$DE\parallel AB$であり、$CE\perp AC$だから$\angle DCE=\theta$となる。したがって直角三角形$CDE$では$DE=DC\tan\theta$である。　 $\displaystyle \tan15^\circ=\tan(45^\circ-30^\circ)=\frac{1-1/\sqrt3}{1+1/\sqrt3}=2-\sqrt3$を用いる。　 (1) $a=1$より$BC=2-\sqrt3$であるから、$$\displaystyle [ABC]=\frac12 AB\cdot BC=\frac{2-\sqrt3}{2}=1-\frac{\sqrt3}{2}.$$ (2) $\tan30^\circ=1/\sqrt3$より$BC=2/\sqrt3$、$DC=BD-BC=3-2/\sqrt3$である。よって$DE=DC\tan30^\circ=\sqrt3-2/3$であり、$$\displaystyle [CDE]=\frac12 DC\cdot DE=\frac12\left(3-\frac2{\sqrt3}\right)\left(\sqrt3-\frac23\right)=\frac{31\sqrt3}{18}-2.$$ (3) $a=2$より$BC=4-2\sqrt3$、$DC=22-BC=18+2\sqrt3$である。したがって$DE=(18+2\sqrt3)(2-\sqrt3)=30-14\sqrt3$。$E$は$DF$上にあり、$DF=58$だから$EF=58-DE=28+14\sqrt3$。また$EG\perp CE$、$AC\perp CE$より$EG\parallel AC$であり、$EF\parallel AB$なので$\angle FEG=15^\circ$。$EFG$は$F$を直角とするから、$$FG=EF\tan15^\circ=(28+14\sqrt3)(2-\sqrt3)=14.$$ (4) 左辺に$x=-7$を代入すると$0$となるので、因数定理より$x+7$で割り切れる。実際、$$x^3+11x^2+29x+7=(x+7)(x^2+4x+1).$$ゆえに$(x+2)^2=3$から$x=-2\pm\sqrt3$も得る。以上より解は$x=-7,-2+\sqrt3,-2-\sqrt3$である。