9千葉大学 2010年 数学 第9問解答・解説

$\theta=\angle AOP$、$\phi=\angle AOQ$ とおく。$p,q>0$ なので両角は第1象限にあり、条件より $0<\theta<\phi<\pi/2$。座標から $\tan\theta=1/p^2$、$\tan\phi=a/q^2$ である。

面積を $\displaystyle \frac12 OP\cdot OQ\sin(\phi-\theta)$ と表し、$OP\cos\theta=p$、$OP\sin\theta=1/p$、$OQ\cos\phi=q$、$OQ\sin\phi=a/q$ および正弦の差の公式を用いると、 $$\displaystyle 3=\frac12\left(\frac{ap}{q}-\frac{q}{p}\right),\qquad ap^2-q^2=6pq.$$

加法定理から、 $$\displaystyle \tan\angle POQ=\tan(\phi-\theta)=\frac{a/q^2-1/p^2}{1+a/(p^2q^2)}=\frac{ap^2-q^2}{a+(pq)^2}=\frac{6t}{a+t^2},\quad t=pq>0.$$ ここで面積条件を $r=p/q$ で表すと $ar^2-6r-1=0$ であり、正の解 $r=(3+\sqrt{a+9})/a$ がある。したがってこの比を保って $p=rq$ とし、$q>0$ を動かせば $t=rq^2$ はすべての正の値をとる。よって $t=\sqrt a$ も実現できる。

$t^2+a\ge 2t\sqrt a$ より $\tan\angle POQ\le 3/\sqrt a$、等号は $t=\sqrt a$ のとき成立する。従って最大値は $3/\sqrt a$。これが $3/4$ となるには、$a>1$ より $\sqrt a=4$、すなわち $a=16$。