1近畿大学 2011年 数学 第1問解答・解説

2円の交点では2式を引くと$2ax=a^2+3r^2$、ゆえに$\displaystyle x=\frac{a^2+3r^2}{2a}>0$。交点が異なる2点となるのは中心間距離aが半径の差rと和3rの間にあるときで、$r<a<3r$。Pのy座標は$\sqrt{4r^2-x^2}$。$\displaystyle x=\frac a2+\frac{3r^2}{2a}\ge\sqrt3\,r$（相加相乗平均）で、等号は$a=\sqrt3\,r$。このとき$x=\sqrt3\,r,\ y=r$。共通部分は、$\text{半径 }2r$の円の中心角$\displaystyle \frac\pi3$の扇形と$\text{半径 }r$の円の中心角$\pi$の扇形の面積の和から、$\text{底辺 }\sqrt3\,r$、$\text{高さ }r$の上下2つの三角形の面積の合計$\sqrt3\,r^2$を引いたもの。面積=$\displaystyle \left(\frac{2\pi}{3}+\frac\pi2-\sqrt3\right)r^2=\left(\frac{7\pi}{6}-\sqrt3\right)r^2$。外接時は中心間距離$a=3r$。上側の共通外接線を単位法線$\boldsymbol n=(n_x,n_y)$で表し、直線を$\boldsymbol n\cdot(x,y)=2r$とする。小円も同じ側で接するから$3r n_x+r=2r$、$\displaystyle n_x=\frac13$、上側なので$\displaystyle n_y=\frac{2\sqrt2}{3}$。したがって$x+2\sqrt2\,y=6r$、すなわちx切片は$6r$、傾きは$\displaystyle -\frac{\sqrt2}{4}$、切片は$\displaystyle \frac{3\sqrt2\,r}{2}$。接点は大円で$\displaystyle \left(\frac{2r}{3},\frac{4\sqrt2\,r}{3}\right)$、小円で$\displaystyle \left(\frac{10r}{3},\frac{2\sqrt2\,r}{3}\right)$となり、両方とも第一象限にある。