本文へ進む
検索
メニュー
医学部数学 過去問DB問題を探す

近畿大学／2011年度／一般前期

近畿大学 2011年 数学 第2問解答・解説

ベクトル

このページには広告が含まれます。

1問題

近畿大学2011年度第2問

OO を原点とする座標空間内に，図のような直方体 OADB-CPQROADB\text{-}CPQR がある。

直方体OADB−CPQRの図で、前面の左下A、右下D、右上Q、左上P、奥の左下O、右下B、右上R、左上Cが記され、十二辺は実線で描かれている。OからAへの左下向き矢印にベクトルa、OからBへの右向き矢印にベクトルb、OからCへの上向き矢印にベクトルcとある。

OA→=a⃗,OB→=b⃗,OC→=c⃗\overrightarrow{OA}=\vec{a},\qquad \overrightarrow{OB}=\vec{b},\qquad \overrightarrow{OC}=\vec{c}

とおく。また，3点 A,B,CA,B,C を頂点とする △ABC\triangle ABC の重心を GG とする。

(1) 線分 DPDP を 1:51:5 に内分する点を MM とし，2点 M,GM,G を通る直線と面 OBRCOBRC の交点を NN とする。このとき

i) OM→, MG→\overrightarrow{OM},\ \overrightarrow{MG} を，それぞれ，a⃗,b⃗,c⃗\vec{a},\vec{b},\vec{c} を用いて表せ。

ii) MN→=sMG→\overrightarrow{MN}=s\overrightarrow{MG} を満たす ss の値を求めよ。

iii) ON→\overrightarrow{ON} を b⃗,c⃗\vec{b},\vec{c} を用いて表せ。

(2) 線分 OCOC を t:1−tt:1-t に内分する点を LL とする (0<t<1)(0<t<1)。このとき

i) LD→, LG→\overrightarrow{LD},\ \overrightarrow{LG} を，それぞれ，a⃗,b⃗,c⃗\vec{a},\vec{b},\vec{c} と tt を用いて表せ。

ii) 3点 D,G,LD,G,L が一直線上にあるように tt の値を定めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • OM→=a⃗+5b⃗+c⃗6,MG→=−4a⃗−3b⃗+c⃗6,s=32,ON→=b⃗+5c⃗12;LD→=a⃗+b⃗−tc⃗,LG→=a⃗+b⃗+(1−3t)c⃗3,t=12.\displaystyle \overrightarrow{OM}=\vec a+\frac{5\vec b+\vec c}{6},\quad \overrightarrow{MG}=\frac{-4\vec a-3\vec b+\vec c}{6},\quad s=\frac32,\quad \overrightarrow{ON}=\frac{\vec b+5\vec c}{12};\quad \overrightarrow{LD}=\vec a+\vec b-t\vec c,\quad \overrightarrow{LG}=\frac{\vec a+\vec b+(1-3t)\vec c}{3},\quad t=\frac12.

3解答

解答を見る途中式つきの解答

位置ベクトルを O=0⃗,A=a⃗,B=b⃗,C=c⃗O=\vec0,\quad A=\vec a,\quad B=\vec b,\quad C=\vec c とすると、直方体の頂点は D=a⃗+b⃗D=\vec a+\vec b, P=a⃗+c⃗P=\vec a+\vec c, R=b⃗+c⃗R=\vec b+\vec c である。また OG→=a⃗+b⃗+c⃗3.\displaystyle \overrightarrow{OG}=\frac{\vec a+\vec b+\vec c}{3}.

(1) 線分 DPDP を 1:51:5 に内分するから DM:MP=1:5DM:MP=1:5 である。内分点の公式より OM→=5OD→+OP→6=a⃗+5b⃗+c⃗6.\displaystyle \overrightarrow{OM}=\frac{5\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OP}}6 =\vec a+\frac{5\vec b+\vec c}{6}. 従って MG→=OG→−OM→=−4a⃗−3b⃗+c⃗6.\displaystyle \overrightarrow{MG}=\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{OM} =\frac{-4\vec a-3\vec b+\vec c}{6}. NN は平面 OBRCOBRC 上にあるので、ON→\overrightarrow{ON} の a⃗\vec a 成分は0である。直線 MGMG 上の点を ON→=OM→+sMG→\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OM}+s\overrightarrow{MG} とおくと、a⃗\vec a 成分は 1−23s\displaystyle 1-\frac23s。これが0より s=32.\displaystyle s=\frac32. これを代入して ON→=a⃗+5b⃗+c⃗6+32⋅−4a⃗−3b⃗+c⃗6=b⃗+5c⃗12.\displaystyle \overrightarrow{ON} =\vec a+\frac{5\vec b+\vec c}{6} +\frac32\cdot\frac{-4\vec a-3\vec b+\vec c}{6} =\frac{\vec b+5\vec c}{12}.

(2) OL:LC=t:(1−t)OL:LC=t:(1-t) より OL→=tc⃗\overrightarrow{OL}=t\vec c。よって LD→=a⃗+b⃗−tc⃗,LG→=a⃗+b⃗+(1−3t)c⃗3.\displaystyle \overrightarrow{LD}=\vec a+\vec b-t\vec c,\qquad \overrightarrow{LG}=\frac{\vec a+\vec b+(1-3t)\vec c}{3}. D,G,LD,G,L が一直線上にあるためには LG→=λLD→\overrightarrow{LG}=\lambda\overrightarrow{LD} となる実数 λ\lambda がある。a⃗\vec a 成分から λ=1/3\lambda=1/3。c⃗\vec c 成分を比べると 1−3t3=−t3,\displaystyle \frac{1-3t}{3}=-\frac t3, 従って t=1/2t=1/2。このとき b⃗\vec b 成分も等しいため条件を満たす。

この問題で使う考え方

  • ベクトルの和・差・実数倍
  • 位置ベクトル
  • 空間座標と空間ベクトル
  • ベクトルによる図形の考察

PR

数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」

数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。

「数強塾」オンライン数学克服塾〈プロ講師〉

東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」

トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。

トウコベ公式サイト

似た問題を、ほかの大学で

答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。