2金沢大学 2012年 数学 第2問解答・解説

$P_0=(5+s,-s,0),\quad Q_0=(t,0,2+2t)$ とおくと、$\overrightarrow{P_0Q_0}=(t-5-s,s,2+2t)$。垂直条件から $t-5-2s=0,\quad 5t-s-1=0$。よって $\displaystyle t=-\frac13,\quad s=-\frac83$ となり、 $\displaystyle P_0=(\frac73,\frac83,0),\quad Q_0=(-\frac13,0,\frac43)$。 $\displaystyle \overrightarrow{P_0Q_0}=(-\frac83,-\frac83,\frac43)$ だから $\displaystyle |\overrightarrow{P_0Q_0}|^2=\frac{64+64+16}{9}=16$ より $|\overrightarrow{P_0Q_0}|=4$。 $P=(5+u,-u,0),\quad Q=(v,0,2+2v)$ とおけば、$\overrightarrow{PP_0}=(s_0-u)(1,-1,0),\quad\overrightarrow{Q_0Q}=(v-t_0)(1,0,2)$ （ただし $\displaystyle s_0=-\frac83,\quad t_0=-\frac13$）。点を順に結ぶと$\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PP_0}+\overrightarrow{P_0Q_0}+\overrightarrow{Q_0Q}$。また$\overrightarrow{P_0Q_0}$ は方向ベクトル $(1,-1,0),(1,0,2)$ の両方に垂直なので、$\overrightarrow{P_0Q_0}\perp(\overrightarrow{PP_0}+\overrightarrow{Q_0Q})$。したがって $|\overrightarrow{PQ}|^2=|\overrightarrow{PP_0}+\overrightarrow{Q_0Q}|^2+|\overrightarrow{P_0Q_0}|^2=|\overrightarrow{PP_0}+\overrightarrow{Q_0Q}|^2+16$。