金沢大学 2012年数学第3問解答・解説

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1問題

金沢大学2012年度第3問

次の問いに答えよ。

(1) f(t)を0≦t≦1で連続な関数とする。tan x=tとおいて、 $\displaystyle \int_{0}^{\pi/4}$ f(tan x)/cos^2 x dx= $\displaystyle \int_{0}^{1}$ f(t)dtであることを示せ。

(2) (1)を用いて、0以上の整数nに対し、 $\displaystyle \int_{0}^{\pi/4}$ tan^n x/cos^2 x dxの値を求めよ。また、 $\displaystyle \int_{0}^{\pi/4}$ tan^n x dx≦1/(n+1)を示せ。

(3) 0以上の整数nと0≦x≦π/4を満たすxに対し、(1−tan^2 x+tan^4 x−⋯+(-1)^n tan^(2n) x)/cos^2 x=1−(-1)^(n+1)tan^(2(n+1))xであることを示せ。

(4) (2)と(3)を用いて、lim_(n→∞) $\displaystyle \sum\limits _{k=0}^{n}$ (-1)^k/(2k+1) の値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

問題文の順に、tan x の置換積分、非負性を使った比較、有限等比和の恒等式、余項の評価を用いる。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\sum\limits _{k=0}^{n}(-1)^k\frac{1}{2k+1}=\frac{\pi}{4}$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

$\displaystyle \text{(1) }t=\tan x\text{ と置くと }dt=\sec^2x\,dx,\ x:0\to\pi/4\text{ に対し }t:0\to1\text{ だから }\int_0^{\pi/4}f(\tan x)\sec^2x\,dx=\int_0^1f(t)\,dt.\quad\text{(2) }f(t)=t^n\text{ とすれば }\int_0^{\pi/4}\tan^nx\sec^2x\,dx=\int_0^1t^n\,dt=\frac1{n+1}.\text{ また }0\le\cos^2x\le1\text{ より }\int_0^{\pi/4}\tan^nx\,dx=\int_0^{\pi/4}\tan^nx\cos^2x\sec^2x\,dx\le\int_0^{\pi/4}\tan^nx\sec^2x\,dx=\frac1{n+1}.\quad\text{(3) }u=\tan^2x\text{ と置くと }(1+u)(1-u+\cdots+(-1)^nu^n)=1-(-u)^{n+1};\ 1+u=\sec^2x\text{ を用いて所定の等式を得る}.\quad\text{(4) (3) を }0\le x\le\pi/4\text{ の範囲で積分し、(2) を各項に用いると }\sum\limits _{k=0}^{n}(-1)^k\frac1{2k+1}=\frac\pi4-(-1)^{n+1}\int_0^{\pi/4}\tan^{2n+2}x\,dx.\text{ 余項の絶対値は (2) により }0\le\int_0^{\pi/4}\tan^{2n+2}x\,dx\le\frac1{2n+3}\to0\text{ だから極限は }\pi/4.$

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