1金沢大学 2012年 数学 第1問解答・解説

PDF p1医学類を含む全4問必答、p2問1のn≧2、正2^n角形、各積の開始添字2を確認。

(1) 円の中心と頂点を結ぶと中心角$2\pi/2^n$の二等辺三角形が$2^n$個できる。従って $$\displaystyle S_n=2^{n-1}\sin\frac\pi{2^{n-1}}.$$ 一辺の弦長は$2\sin(\pi/2^n)$なので $$\displaystyle L_n=2^{n+1}\sin\frac\pi{2^n}.$$ (2) $x=\pi/2^n$と置き、倍角公式を使うと $$\displaystyle \frac{S_n}{S_{n+1}}=\frac{\sin2x}{2\sin x}=\cos x,\qquad\frac{S_n}{L_n}=\frac12\cos x.$$ (3) $y=\pi/2^{n-1}$と置くと$S_n=\pi\sin y/y\to\pi$。また倍角公式を反復して $$\displaystyle 1=\sin\frac\pi2=2^{n-1}\sin\frac\pi{2^n}\prod\limits _{k=2}^n\cos\frac\pi{2^k}.$$ 分母$2^{n-1}\sin(\pi/2^n)$は$\pi/2$に収束するので、積の極限は$2/\pi$。 (4) (2)より $$\displaystyle 2^n\prod\limits _{k=2}^n\frac{S_k}{L_k}=2\prod\limits _{k=2}^n\cos\frac\pi{2^k}\longrightarrow\frac4\pi.$$