6京都大学 2001年 数学 第6問解答・解説

$$\displaystyle \begin{aligned} I_n&=\int_0^{n\pi}e^{-x}|\sin(nx)|\,dx =\frac1n\int_0^{n^2\pi}e^{-t/n}|\sin t|\,dt\\ &=\frac1n\sum\limits _{k=0}^{n^2-1}e^{-k\pi/n}\int_0^\pi e^{-u/n}\sin u\,du.\\ \int_0^\pi e^{-u/n}\sin u\,du&=\frac{1+e^{-\pi/n}}{1+n^{-2}},\\ I_n&=\frac1n\frac{1+e^{-\pi/n}}{1+n^{-2}}\frac{1-e^{-\pi n}}{1-e^{-\pi/n}}.\\ \lim\limits _{n\to\infty}I_n&=\left(\lim\limits _{n\to\infty}\frac1{n(1-e^{-\pi/n})}\right)2=\frac2\pi. \end{aligned}$$

$t=nx$ と置換し、$|\sin t|$ の周期 $\pi$ ごとに積分を分けると、幾何級数と $\displaystyle J_n=\int_0^\pi e^{-u/n}\sin u\,du$ の積になる。2回の部分積分で $J_n=(1+e^{-\pi/n})/(1+n^{-2})$。したがって $\displaystyle I_n=\frac1n\frac{1+e^{-\pi/n}}{1+n^{-2}}\frac{1-e^{-\pi n}}{1-e^{-\pi/n}}$。ここで $n(1-e^{-\pi/n})\to\pi$ より極限は $2/\pi$。