4岐阜大学 2017年 数学 第4問解答・解説

(1)

$0\le x\le\pi$で$|\sin x|=\sin x$なので$\displaystyle I_1=\int_0^\pi e^{-x}\sin x\,dx$。 $\displaystyle J=\int_0^\pi e^{-x}\cos x\,dx$とおく。部分積分を2回用いると $$I_1=[-e^{-x}\sin x]_0^\pi+J=J,$$ $$J=[-e^{-x}\cos x]_0^\pi-I_1=1+e^{-\pi}-I_1.$$ したがって$2I_1=1+e^{-\pi}$より $$\displaystyle \boxed{I_1=\frac{1+e^{-\pi}}2}.$$

(2)

$x=(n-1)\pi+u$とおくと$0\le u\le\pi$であり、 $|\sin x|=|(-1)^{n-1}\sin u|=\sin u$。従って $$\displaystyle I_n=e^{-(n-1)\pi}\int_0^\pi e^{-u}\sin u\,du =\boxed{\frac{1+e^{-\pi}}2 e^{-(n-1)\pi}}.$$

(3)

$\{I_n\}$は初項$(1+e^{-\pi})/2$、公比$e^{-\pi}$の等比数列だから $$\displaystyle \boxed{S_n=\frac{1+e^{-\pi}}{2(1-e^{-\pi})}(1-e^{-n\pi})}.$$

(4)

$0<e^{-\pi}<1$より$e^{-n\pi}\to0$。従って $$\displaystyle \boxed{\lim\limits _{n\to\infty}S_n=\frac{1+e^{-\pi}}{2(1-e^{-\pi})} =\frac{e^\pi+1}{2(e^\pi-1)}}.$$