5岐阜大学 2017年 数学 第5問解答・解説

(1) $\displaystyle a=\frac{i}{2}$ は複素平面上で正の虚軸上の点なので、 $$\displaystyle |a|=\frac12,\qquad \arg a=\frac\pi2$$ である。これは指定された $0\le\arg a<2\pi$ の範囲に入る。

(2) 漸化式 $z_{n+1}=az_n+a$ を条件式に代入すると $$az_n+a+b=az_n+ab,$$ したがって $a+b=ab$ である。$\displaystyle a=\frac i2\ne1$ より $$\displaystyle b=\frac{a}{a-1}=\frac{i}{i-2}=\frac{1-2i}{5}.$$

(3) (2) の関係から $z_{n+1}+b=a(z_n+b)$ となるので、$z_1=1$ を用いて $$\displaystyle z_n+b=a^{n-1}(1+b),\qquad z_n=\frac{6-2i}{5}\left(\frac i2\right)^{n-1}-\frac{1-2i}{5}.$$ ここで $i^{n-1}$ が $1,i,-1,-i$ と周期4で変わることから、実部と虚部は $$\displaystyle (x_n,y_n)= \begin{cases} \left(\dfrac{6}{5\cdot2^{n-1}}-\dfrac15,\ -\dfrac{2}{5\cdot2^{n-1}}+\dfrac25\right),&n\equiv1\pmod4,\\[4pt] \left(\dfrac{2}{5\cdot2^{n-1}}-\dfrac15,\ \dfrac{6}{5\cdot2^{n-1}}+\dfrac25\right),&n\equiv2\pmod4,\\[4pt] \left(-\dfrac{6}{5\cdot2^{n-1}}-\dfrac15,\ \dfrac{2}{5\cdot2^{n-1}}+\dfrac25\right),&n\equiv3\pmod4,\\[4pt] \left(-\dfrac{2}{5\cdot2^{n-1}}-\dfrac15,\ -\dfrac{6}{5\cdot2^{n-1}}+\dfrac25\right),&n\equiv0\pmod4. \end{cases}$$

(4) $|i^{n-1}|=1$ であり、$2^{-(n-1)}\to0$ だから、(3) の式から $$\displaystyle z_n\longrightarrow-\frac{1-2i}{5}=-\frac15+\frac25i.$$ よって $$\displaystyle \boxed{\lim\limits _{n\to\infty}x_n=-\frac15},\qquad \boxed{\lim\limits _{n\to\infty}y_n=\frac25}.$$