2岐阜大学 2017年 数学 第2問解答・解説

円Cの方程式は $x^2+y^2=4$ である。円周上の点T=(u,v)における接線は ux+vy=4 と書ける。これがP=(p,0)を通るので pu=4、すなわち u=4/p である。また u²+v²=4 より

$\displaystyle v=\pm\frac{2}{p}\sqrt{p^2-4}$.

p>2なので正の平方根が定まり、a₂>b₂より

(1) $\displaystyle A=\left(\frac{4}{p},\frac{2\sqrt{p^2-4}}{p}\right),\quad B=\left(\frac{4}{p},-\frac{2\sqrt{p^2-4}}{p}\right)$.

(2) 三角形ABPの重心は3頂点の座標の平均だから、

$\displaystyle G=\left(\frac{p+8/p}{3},0\right)$.

(3) Gが半径2の円周上にあるには |OG|=2 が必要である。Gのx座標は正なので (p+8/p)/3=2、従って p²−6p+8=0。p>2から p=4 である。このとき A=(1,√3), B=(1,−√3), P=(4,0)。よって PA=PB=2√3 で、AB=2√3。余弦定理より

$\displaystyle \cos\angle APB=\frac{PA^2+PB^2-AB^2}{2\,PA\,PB}=\frac12$,

したがって ∠APB=60°。

(4) p>2に対して d=OG=(p+8/p)/3 である。相加相乗平均から $\displaystyle p+\frac{8}{p}\geq2\sqrt8=4\sqrt2$。等号条件 p=8/p は p=2√2 であり、これは p>2 を満たす。したがって dの最小値は 4√2/3、そのとき p=2√2。