3岐阜大学 2017年 数学 第3問解答・解説

(1) $\displaystyle a_2=\cos\dfrac{\pi}{12}=\cos\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{6}\right)$ だから、加法定理より $$\displaystyle a_2=\cos\frac\pi4\cos\frac\pi6+\sin\frac\pi4\sin\frac\pi6 =\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12 =\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}.$$

(2) 半径1の円に内接する正 $n$ 角形を中心から $n$ 個の三角形に分けると、各三角形の頂角は $2\pi/n$、面積は $\displaystyle \frac12\sin(2\pi/n)$ である。よって $$\displaystyle I_n=\frac n2\sin\frac{2\pi}{n}.$$ 外接する正 $n$ 角形では、中心から各辺に下ろした垂線の長さが1である。辺の中点でできる直角三角形において、中心角の半分が $\pi/n$ だから辺の半分の長さは $\tan(\pi/n)$。したがって一辺は $2\tan(\pi/n)$ で、面積は $$\displaystyle E_n=n\cdot\frac12\cdot2\tan\frac\pi n\cdot1=n\tan\frac\pi n.$$

(3) $\displaystyle \theta_m=\dfrac{\pi}{3\cdot2^m}$ とおくと $0<\theta_m<\pi/2$ なので、$\sin\theta_m>0$。$a_m=\cos\theta_m$ より $$\displaystyle \boxed{\sin\theta_m=\sqrt{1-a_m^2}},\qquad \boxed{\tan\theta_m=\frac{\sqrt{1-a_m^2}}{a_m}}.$$

(4) $N=3\cdot2^{m+1}$ とおくと $2\pi/N=\theta_m$ である。(2)から $$\displaystyle I_N=\frac N2\sin\frac{2\pi}{N}=3\cdot2^m\sin\theta_m.$$ 円の面積との比較 $I_N<\pi$ と (3) より $$3\cdot2^m\sqrt{1-a_m^2}<\pi.$$ 一方、$M=3\cdot2^m$ とおくと $\pi/M=\theta_m$ であり、(2)から $$\displaystyle E_M=M\tan\frac\pi M=3\cdot2^m\tan\theta_m.$$ 円の面積との比較 $\pi<E_M$ と (3) より $$\displaystyle \pi<3\cdot2^m\frac{\sqrt{1-a_m^2}}{a_m}.$$ 以上から求める不等式が成り立つ。

(5) $m=2$ とする。(1)より $$\displaystyle a_2=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4},\qquad \sqrt{1-a_2^2}=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4},\qquad \frac{\sqrt{1-a_2^2}}{a_2} =\frac{\sqrt6-\sqrt2}{\sqrt6+\sqrt2}=2-\sqrt3.$$ ここで平方根は $0<\pi/12<\pi/2$ によって正の方をとる。(4)へ代入すれば $$\boxed{3(\sqrt6-\sqrt2)<\pi<12(2-\sqrt3)}.$$