4京都大学 2017年 数学 第4問解答・解説

(1) $P$ は内心なので、$BP,CP$ はそれぞれ $B,C$ の角の二等分線である。三角形 $BPC$ において $$\displaystyle \angle PBC=\frac B2,\qquad \angle PCB=\frac C2,$$ よって $$\displaystyle \angle BPC=180^\circ-\frac{B+C}{2}=180^\circ-\frac{180^\circ-A}{2}=90^\circ+\frac A2=120^\circ=\frac{2\pi}{3}.$$

(2) 三角形の面積を $K$、半周長を $s$ とすると $K=rs$。外接円半径を $R$ として正弦定理を使うと $$\displaystyle \begin{aligned}K&=2R^2\sin A\sin B\sin C,\\s&=R(\sin A+\sin B+\sin C)=4R\cos\frac A2\cos\frac B2\cos\frac C2.\end{aligned}$$ したがって $\displaystyle r=K/s=4R\sin\frac A2\sin\frac B2\sin\frac C2$。ここで $R=1$, $A=60^\circ$ より $$\displaystyle r=2\sin\frac B2\sin\frac C2=\cos\frac{B-C}{2}-\cos\frac{B+C}{2}=\cos\frac{B-C}{2}-\frac12.$$ 三角形は鋭角で $B+C=120^\circ$ だから $30^\circ<B,C<90^\circ$。よって $-30^\circ<(B-C)/2<30^\circ$ であり $$\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}<\cos\frac{B-C}{2}\le1.$$ 従って $$\displaystyle \boxed{\frac{\sqrt3-1}{2}<r\le\frac12}.$$ 下端は一方の角が $90^\circ$ に近づく極限であり鋭角条件では達しない。上端は $B=C=60^\circ$ の正三角形で達する。

(1) 内心の角二等分線と三角形の内角和から $\displaystyle \angle BPC=\frac{2\pi}{3}$。(2) 内接円半径を面積と半周長で表し、三角形の外接円半径の公式で $\displaystyle r=\cos\left(\frac{B-C}{2}\right)-\frac12$ とする。鋭角条件から半角差の絶対値は $\displaystyle \frac{\pi}{6}$ 未満なので、下限は開き、最大値 $\displaystyle \frac12$ は正三角形で取る。