1熊本大学 2017年 数学 第1問解答・解説

三角形の内角から $$\displaystyle 0<x,y,z<\frac{\pi}{2},\qquad x+y+z=\frac{\pi}{2}$$ である。円の中心を $I$、辺 $AB,BC,CA$ との接点をそれぞれ $D,E,F$ とする。接線の長さは同じ点から引いたものどうしで等しいので、 $$AD=AF=u,\qquad BD=BE=v,\qquad CE=CF=w$$ とおく。半径は $1$ で、$ID\perp AB$ である。また $AI$ は $\angle A$ の二等分線だから、直角三角形 $AID$ において $\angle IAD=x$ となる。よって $$\displaystyle \tan x=\frac{ID}{AD}=\frac1u,\qquad u=\frac1{\tan x}.$$ 同様に $v=1/\tan y,\ w=1/\tan z$ である。

$I$ から各辺へ下ろした垂線の長さはいずれも $1$ なので、三角形 $ABC$ の面積は $$\displaystyle S=\frac{AB+BC+CA}{2} =\frac{(u+v)+(v+w)+(w+u)}2 =u+v+w.$$ したがって $$\displaystyle S=\frac1{\tan x}+\frac1{\tan y}+\frac1{\tan z},$$ となり、問1が示された。

問2では $z=\pi/6$ だから $x+y=\pi/3$ である。$x,y>0$ より $\sin x\sin y>0$ であり、積和の公式から $$\displaystyle \sin x\sin y =\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}2 =\frac{\cos(x-y)-\frac12}2 \leq \frac14.$$ 等号は $\cos(x-y)=1$ のときに限る。ここで $-\pi/3<x-y<\pi/3$ なので、これは $x=y$ と同値である。また加法定理より $$\displaystyle \cot x+\cot y =\frac{\sin(x+y)}{\sin x\sin y} \geq \frac{\sin(\pi/3)}{1/4} =2\sqrt3.$$ この等号は $x=y$ のときに成立し、そのとき $x=y=\pi/6$ である。さらに $\cot z=\cot(\pi/6)=\sqrt3$ だから、 $$S=\cot x+\cot y+\cot z\geq 3\sqrt3.$$ $x=y=z=\pi/6$ とすれば三角形は正三角形となり、半径 $1$ の内接円をもつ正三角形は存在する（各頂点から接点までの長さは $\sqrt3$、一辺は $2\sqrt3$）。したがって下限は実際に達成される。

よって、最小値は $3\sqrt3$、そのとき $x=y=\pi/6$ である。