3熊本大学 2017年 数学 第3問解答・解説

(1) $$\displaystyle f(x)=1-\frac3x+\frac2{x^2},\qquad f'(x)=\frac3{x^2}-\frac4{x^3}.$$ 点 $P(t,f(t))$ における接線を $L_t(x)=f(t)+f'(t)(x-t)$ とすると、整理して $$\displaystyle L_t(x)=\frac{3t-4}{t^3}x+1-\frac6t+\frac6{t^2}$$ を得る。したがって $$\displaystyle x^2\{f(x)-L_t(x)\} =-\frac{(x-t)^2}{t^3}\{(3t-4)x-2t\}.$$ $x>0$ なので、共有点は $x=t$ と、存在する場合には $(3t-4)x-2t=0$ の正の解である。$0<t<4/3$ では後者の解は負、$t=4/3$ では後者の左辺は $-2t\ne0$ であり、いずれも $P$ 以外の共有点をもたない。$t>4/3$ では後者の解 $x=2t/(3t-4)$ は正で、これが $t$ と等しいのは $t=2$ のときに限る。よって条件を満たす $t$ は $0<t\le4/3$ または $t=2$ であり、最大値は $$\boxed{2}.$$

(2) (1) より $a=2$、また $f(2)=0$ だから、共有点の $x$ 座標は $$(x-2)\{x-1-kx^2\}=0,$$ すなわち $x=2$ と $kx^2-x+1=0$ の正の解である。$k<0$ では二次方程式の解の積は $1/k<0$ なので正の解は1個で、しかも $x=2$ ではない。$k=0$ では追加の解は $x=1$ である。$0<k<1/4$ では判別式 $1-4k>0$、解の和 $1/k>0$、積 $1/k>0$ より異なる正の解が2個あり、いずれも $2$ ではない。$k=1/4$ では二次方程式は $(x-2)^2/4=0$、$k>1/4$ では実数解をもたない。したがって共有点の個数は $$\boxed{\begin{cases} 2 & (k\le0),\\ 3 & (0<k<1/4),\\ 1 & (k\ge1/4). \end{cases}}$$

(3) 共有点が2個となるのは $k\le0$ のときである。小さい方の共有点の $x$ 座標が $1/3$ なので、二次方程式に代入すると $$\displaystyle \frac{k}{9}-\frac13+1=0, \qquad k=-6.$$ このとき $$\displaystyle \ell_{-6}: y=-6(x-2),\qquad \ell_{-6}-f(x)=\frac{(2-x)(3x-1)(2x+1)}{x^2}.$$ よって $1/3<x<2$ では直線が曲線の上側にあり、求める面積は $$\displaystyle \begin{aligned} S&=\int_{1/3}^{2}\left(11-6x+\frac3x-\frac2{x^2}\right)\,dx\\ &=\left[11x-3x^2+3\log x+\frac2x\right]_{1/3}^{2} =\boxed{\frac53+3\log6}. \end{aligned}$$