3北里大学 2002年 数学 第3問解答・解説

(1) 定義域は $x\ne0$ である。$f(x)=x+3/x$ と書けば $$\displaystyle f'(x)=1-\frac3{x^2}=\frac{x^2-3}{x^2},\qquad f''(x)=\frac6{x^3}.$$ したがって $f'$ は $|x|>\sqrt3$ で正、$0<|x|<\sqrt3$ で負である。また、$f''<0$ は $x<0$、$f''>0$ は $x>0$ で成り立つ。増減と極値は $$\begin{array}{c|ccccccc} x&x<-\sqrt3&-\sqrt3&-\sqrt3<x<0&0&0<x<\sqrt3&\sqrt3&x>\sqrt3\\ \hline f'(x)&+&0&-&\text{定義されない}&-&0&+\\ f(x)&\nearrow&-2\sqrt3&\searrow&\text{定義されない}&\searrow&2\sqrt3&\nearrow \end{array}$$ となる。よって $x=-\sqrt3$ で極大値 $-2\sqrt3$、$x=\sqrt3$ で極小値 $2\sqrt3$ をとる。グラフは $x<0$ で上に凸、$x>0$ で下に凸である。漸近線は $x=0$ と $y=x$ であり、グラフは原点対称である。以上から概形は次のようになる。

(2) 曲線上の接点を $(t,t+3/t)$ ($t\ne0$) とすると、接線の傾きは $1-3/t^2$ である。したがって接線は $$\displaystyle y-\left(t+\frac3t\right) =\left(1-\frac3{t^2}\right)(x-t), \qquad y=\left(1-\frac3{t^2}\right)x+\frac6t.$$ この接線が $(p,q)$ を通る条件は $$(p-q)t^2+6t-3p=0. \tag{1}$$ 2本の接線の接点を $t_1,t_2$ とし、$S=t_1+t_2$、$P=t_1t_2$ とおく。 Vietaの関係から $$\displaystyle S=\frac6{q-p},\qquad P=\frac{3p}{q-p}.$$ 両接線が直交する条件は $$\displaystyle \left(1-\frac3{t_1^2}\right)\left(1-\frac3{t_2^2}\right)=-1.$$ $t_1t_2\ne0$ なので両辺に $t_1^2t_2^2$ を掛けて整理すると $$2P^2-3(S^2-2P)+9=0.$$ 上の $S,P$ を代入し、$q-p\ne0$ に注意して整理すれば $$p^2+q^2=12. \tag{2}$$

逆に、(2) を満たし $p\ne q,\ p\ne0$ とする。(1) は二次方程式であり、その判別式は $$\displaystyle \Delta=36+12p(p-q)=12(3+p^2-pq) =12\left\{\left(p-\frac q2\right)^2+\frac{p^2}{4}\right\}>0.$$ 最後の不等号は、括弧内が $0$ なら $p=q=0$ となり (2) に反することによる。また、(1) の2根の積は $3p/(q-p)\ne0$ であるから、2根は相異なる実数で、どちらも接点として許される。したがって (2) の円上で $p\ne q,\ p\ne0$ の点はすべて条件を満たす。 円 $p^2+q^2=12$ 上で除く点は $$(0,2\sqrt3),\quad(0,-2\sqrt3),\quad (\sqrt6,\sqrt6),\quad(-\sqrt6,-\sqrt6).$$ 実際、前二点では (1) の一根が $t=0$ となり、後二点では (1) が一次式となるため、いずれも異なる2本の接線をもたない。よって求める図形は半径 $2\sqrt3$、中心 $O$ の円からこの4点を除いたものである。