6秋田大学 2018年 数学 第6問解答・解説

(i) 商の微分により $$\displaystyle f'(x)=\frac{(1+x^2)-2x^2}{(1+x^2)^2}=\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}.$$ 分母は常に正なので、$f'(x)$ の符号は $1-x^2$ の符号と一致する。従って $x<-1$ で減少、$-1<x<1$ で増加、$x>1$ で減少する。また $$\displaystyle f(-1)=-\frac12,\qquad f(1)=\frac12.$$ よって極小値は $-1/2$（$x=-1$）、極大値は $1/2$（$x=1$）である。

(ii) 点のx座標を $x$ とすると、接線の傾きは $g(x)=f'(x)$ である。まず $$\displaystyle g'(x)=f''(x)=\frac{2x(x^2-3)}{(1+x^2)^3}.$$ 従って $g$ は $x<-\sqrt3$ で減少し、$-\sqrt3<x<0$ で増加し、$0<x<\sqrt3$ で減少し、$x>\sqrt3$ で増加する。さらに $$\displaystyle \lim\limits _{x\to\pm\infty}g(x)=0^- ,\qquad g(-\sqrt3)=g(\sqrt3)=-\frac18,\qquad g(0)=1.$$ したがって、水平線 $y=m$ がグラフ $y=g(x)$ と異なる4点で交わるのは、かつそのときに限り $-1/8<m<0$ である。問題文の条件により異なる接点は異なる接線を与えるので、求める条件は $$\displaystyle -\frac18<f'(a)<0.$$ ここで $$\displaystyle f'(a)<0\text{ の必要十分条件は }a^2>1, \qquad f'(a)+\frac18=\frac{(a^2-3)^2}{8(1+a^2)^2},$$ より $f'(a)>-1/8$ の必要十分条件は $a^2\ne3$。ゆえに $$\boxed{a<-\sqrt3\text{ または }-\sqrt3<a<-1\text{ または }1<a<\sqrt3\text{ または }a>\sqrt3}.$$