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秋田大学／2018年度

秋田大学 2018年 数学 第8問解答・解説

いろいろな式

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1問題

秋田大学2018年度第8問

複素数 α\alpha が α2+α+2=0\alpha^{2} + \alpha + 2 = 0 を満たすとする。次の問いに答えよ。

(i) (α3−2α2−1)(α4−2α3−5α+5)=Aα+B(\alpha^{3}-2\alpha^{2}-1)(\alpha^{4}-2\alpha^{3}-5\alpha+5)=A\alpha+B を満たす実数 A, B の値を 1 組求めよ。

(ii) α3−2α2−1α5+α4+α3−α2−α−1=Cα+D\displaystyle \frac{\alpha^{3}-2\alpha^{2}-1}{\alpha^{5}+\alpha^{4}+\alpha^{3}-\alpha^{2}-\alpha-1}=C\alpha+D を満たす実数 C, D の値を 1 組求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (i)A=3, B=15.(i)\quad A=3,\space{}B=15.
    (ii)C=−32, D=−2.\displaystyle (ii)\quad C=-\frac32,\space{}D=-2.

3解答

解答を見る途中式つきの解答

α2+α+2=0\alpha^2+\alpha+2=0 より α2=−α−2\alpha^2=-\alpha-2. したがって α3=2−α\alpha^3=2-\alpha, α4=3α+2\alpha^4=3\alpha+2, α5=−α−6\alpha^5=-\alpha-6. (i) α3−2α2−1=(2−α)−2(−α−2)−1=α+5\alpha^3-2\alpha^2-1=(2-\alpha)-2(-\alpha-2)-1=\alpha+5, また α4−2α3−5α+5=(3α+2)−2(2−α)−5α+5=3\alpha^4-2\alpha^3-5\alpha+5=(3\alpha+2)-2(2-\alpha)-5\alpha+5=3. よって積は 3(α+5)=3α+153(\alpha+5)=3\alpha+15 だから A=3A=3, B=15B=15. (ii) 分子は α+5\alpha+5 であり、分母は α5+α4+α3−α2−α−1=(−α−6)+(3α+2)+(2−α)+(α+2)−α−1=α−1\alpha^5+\alpha^4+\alpha^3-\alpha^2-\alpha-1=(-\alpha-6)+(3\alpha+2)+(2-\alpha)+(\alpha+2)-\alpha-1=\alpha-1. ここで α≠1\alpha\ne1 なので割り算ができる。α+5α−1=Cα+D\displaystyle \frac{\alpha+5}{\alpha-1}=C\alpha+D とおいて両辺に α−1\alpha-1 を掛けると、Cα2+(D−C)α−D=(D−2C)α−2C−D=α+5C\alpha^2+(D-C)\alpha-D=(D-2C)\alpha-2C-D=\alpha+5. よって D−2C=1D-2C=1, −2C−D=5-2C-D=5 を解き、C=−32\displaystyle C=-\frac32, D=−2D=-2.

この問題で使う考え方

  • 複素数の四則演算
  • 多項式の除法

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