1久留米大学 2021年 数学 第1問解答・解説

(1) $x=2$ を方程式に代入すると $$8-8(a+1)+2(5a^{2}+1)+b=0,$$ したがって $b=-10a^{2}+8a-2$ である。この $b$ を用いて因数分解すると $$\begin{aligned} x^{3}-2(a+1)x^{2}+(5a^{2}+1)x+b &=(x-2)(x^{2}-2ax+5a^{2}-4a+1). \end{aligned}$$ よって $\boxed{\text{アイ}}=10,\ \boxed{\text{ウ}}=8,\ \boxed{\text{エ}}=2,\ \boxed{\text{オ}}=2,\ \boxed{\text{カ}}=5,\ \boxed{\text{キ}}=4,\ \boxed{\text{ク}}=1$ である。

(2) (1)の二次式の根を $z,w$ とする。係数は実数なので、$z,w$ がともに実数なら三点 $2,z,w$ は一直線上にあり三角形にならない。したがって $z,w$ は共役な非実数であり、ある $t>0$ を用いて $z=u+ti,\ w=u-ti$ とおける。解と係数の関係より $z+w=2a$ だから $u=a$ である。また、積について $$a^{2}+t^{2}=zw=5a^{2}-4a+1$$ となり、$t^{2}=(2a-1)^{2}$ を得る。

共役性から $|z-2|=|w-2|$ であるため、三角形の二等辺の頂点は $2$ である。直角が $z$ または $w$ にあると二つの底角が等しいことから両方が直角となって矛盾するので、直角は $2$ にある。よって、頂点 $2$ から $z,w$ へのベクトルの内積が $0$ となり、 $$(a-2,t)\mathbin{\cdot}(a-2,-t)=(a-2)^{2}-t^{2}=0.$$ したがって $(a-2)^{2}=(2a-1)^{2}$、すなわち $$(a+1)(a-1)=0.$$ $a$ は負なので $a=-1$。このとき $t=|2a-1|=3$、また (1) より $b=-20$ である。したがって $z,w=-1\pm3i$ となる。この値では二つの辺のベクトル $(-3,3)$, $(-3,-3)$ は等しい長さで直交し、条件を満たす。