2兵庫医科大学 2023年 数学 第2問解答・解説

(1) 原点中心の反時計回り $\displaystyle \frac\pi3$ の回転では $$\displaystyle (x,y)\longmapsto\left(x\cos\frac\pi3-y\sin\frac\pi3,\ x\sin\frac\pi3+y\cos\frac\pi3\right).$$ したがって $(3,-2)$ の像は $$\displaystyle \left(\frac32+\sqrt3,\frac{3\sqrt3}{2}-1\right)$$ である。

(2) $\overrightarrow{AB}=(2,-3)$ である。$AB=AC$ かつ $\displaystyle \angle BAC=\frac\pi3$ なので、$\overrightarrow{AC}$ は $\overrightarrow{AB}$ を $\displaystyle \frac\pi3$ または $\displaystyle -\frac\pi3$ 回転したベクトルである。回転公式から $$\displaystyle (2,-3)\longmapsto\left(1+\frac{3\sqrt3}{2},\sqrt3-\frac32\right),\qquad (2,-3)\longmapsto\left(1-\frac{3\sqrt3}{2},-\sqrt3-\frac32\right).$$ これらを $A(1,1)$ に加えるので $$\displaystyle C=\left(2+\frac{3\sqrt3}{2},\sqrt3-\frac12\right) \quad\text{または}\quad C=\left(2-\frac{3\sqrt3}{2},-\sqrt3-\frac12\right).$$ 二つの点はいずれも $AC=AB=\sqrt{13}$ で、角 $BAC$ は $\displaystyle \frac\pi3$ である。

(3) $\beta\ne0$ とし、直線 $OB$ を実軸に移す回転を考える。回転後の $A$ の複素数は $\alpha\overline\beta/|\beta|$ である。実軸について反射するとその共役になり、さらに逆回転して元の平面に戻すと $$\displaystyle \gamma=\frac{\beta}{|\beta|}\,\overline{\frac{\alpha\overline\beta}{|\beta|}} =\frac{\beta^2\overline\alpha}{|\beta|^2} =\overline{\left(\frac\alpha\beta\right)}\beta.$$ よって示された。

(4) 原点中心の回転と拡大縮小を施して $\alpha=1$ としてよい。このとき $\beta=x+iy$ とおく。三角形 $OAB$ は退化していないので $y\ne0$ である。(3)と同じ反射公式から $$\displaystyle \gamma=\frac{\beta}{\overline\beta}=\frac{(x+iy)^2}{x^2+y^2},\qquad \delta=\overline\beta=x-iy.$$ 原問の「直線 $DC$」が定まるため、$C\ne D$、すなわち $\gamma-\delta\ne0$ を前提とする。また、$y\ne0$ より $AB$ の方向ベクトルも零ではない。 ここで $AB$ の方向ベクトルは $\beta-1=(x-1)+iy$、$DC$ の方向ベクトルは $\gamma-\delta$ であり、 $$\displaystyle \operatorname{Re}(\gamma-\delta)=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}-x,\qquad \operatorname{Im}(\gamma-\delta)=\frac{2xy}{x^2+y^2}+y.$$ 二つの零でない方向ベクトルが平行である条件を、対応する成分の積が等しいことによって表すと $$\displaystyle (x-1)\operatorname{Im}(\gamma-\delta)-y\operatorname{Re}(\gamma-\delta) =2xy\left(1-\frac1{x^2+y^2}\right)=0.$$ $y\ne0$ より $x=0$ または $x^2+y^2=1$ である。前者は $OA\perp OB$、後者は $|\alpha|=|\beta|$、すなわち $OA=OB$ を表す。したがって $\triangle OAB$ は $O$ を直角とする直角三角形、または $OA=OB$ の二等辺三角形である。