3兵庫医科大学 2023年 数学 第3問解答・解説

一般に $$\displaystyle \frac{(k-1)!}{(k+p)!} =\frac1p\left(\frac{(k-1)!}{(k+p-1)!}-\frac{k!}{(k+p)!}\right)$$ である。右辺の括弧内は隣り合う項で消去する形になっている。

(1) $p=1$ の場合、 $$\displaystyle S_1=\sum\limits _{k=1}^n\left(\frac1k-\frac1{k+1}\right)=1-\frac1{n+1}$$ だから $\displaystyle\lim\limits _{n\to\infty}S_1=1$。

(2) $p=2$ の場合、 $$\displaystyle S_2=\frac12\left(\frac1{2!}-\frac{n!}{(n+2)!}\right) =\frac14-\frac{n!}{2(n+2)!}.$$ ここで $\displaystyle \dfrac{n!}{(n+2)!}=\dfrac1{(n+1)(n+2)}\to0$ より、$\displaystyle\lim\limits _{n\to\infty}S_2=\frac14$。

(3) $p=3$ の場合、 $$\displaystyle S_3=\frac13\left(\frac1{3!}-\frac{n!}{(n+3)!}\right) =\frac1{18}-\frac{n!}{3(n+3)!}.$$ $\displaystyle \dfrac{n!}{(n+3)!}=\dfrac1{(n+1)(n+2)(n+3)}\to0$ だから、$\displaystyle\lim\limits _{n\to\infty}S_3=\frac1{18}$。

(4) (1)〜(3)から、有限和は $$\displaystyle S_p=\frac1p\left(\frac1{p!}-\frac{n!}{(n+p)!}\right)$$ と推測できる。これを $n$ に関する数学的帰納法で証明する。$n=1$ では $$\displaystyle \frac1p\left(\frac1{p!}-\frac1{(p+1)!}\right)=\frac1{(p+1)!}=\frac{0!}{(p+1)!}$$ であり成立する。

$n$ で成立すると仮定すると、 $$\displaystyle \begin{aligned} S_p(n+1) &=S_p(n)+\frac{n!}{(n+p+1)!}\\ &=\frac1{p p!}-\frac{n!}{p(n+p)!}+\frac{n!}{(n+p+1)!}\\ &=\frac1{p p!}-\frac{(n+1)!}{p(n+p+1)!}\\ &=\frac1p\left(\frac1{p!}-\frac{(n+1)!}{(n+p+1)!}\right). \end{aligned}$$ よって $n+1$ でも成立し、数学的帰納法によりすべての自然数 $n$ で成り立つ。