2大分大学 2023年 数学 第2問解答・解説

解答 (1) 赤玉5個が全 $n+5$ 個の玉の並びのどの位置に出るかを考える。各位置の組について赤玉の並べ方は $5!$ 通り、白玉の並べ方は $n!$ 通りで一定だから、赤玉の位置の組 $\displaystyle \binom{n+5}{5}$ 通りは同様に確からしい。条件を満たすには6番目が赤玉であり、残り4個の赤玉が1〜5番目のうち4か所に出ればよい。したがって $$\displaystyle p(n)=\frac{\binom54}{\binom{n+5}{5}}=\frac5{\binom{n+5}{5}}.$$

(2) 積の形にすると $$\displaystyle \frac1{\binom{n+4}{4}}-\frac1{\binom{n+5}{4}} =\frac{24}{(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}-\frac{24}{(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)} =\frac{96}{(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)}.$$ 一方、(1)より $$\displaystyle p(n)=\frac{600}{(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)}.$$ よって $A=600/96=25/4$。

(3) (2)の式を $k=1,\ldots,n$ について加えると、隣り合う項が消えて $$\displaystyle S_n=\frac{25}{4}\left(\frac1{\binom54}-\frac1{\binom{n+5}{4}}\right) =\frac54-\frac{25}{4\binom{n+5}{4}}.$$ $\displaystyle \binom{n+5}{4}\to\infty$ なので $$\displaystyle \boxed{\lim\limits _{n\to\infty}S_n=\frac54}.$$