3鹿児島大学 2021年 数学 第3問解答・解説

3--1（数列）

漸化式を $(n+1)a_{n+1}=(n+3)a_n+2$ とし、$b_n=a_n/((n+2)(n+1))$ とおく。まず両辺を $(n+1)(n+2)(n+3)$ で割ると $$\displaystyle b_{n+1}=\frac{a_{n+1}}{(n+3)(n+2)}=\frac{a_n}{(n+2)(n+1)}+\frac{2}{(n+1)(n+2)(n+3)},$$ したがって $$\displaystyle b_{n+1}-b_n=\frac{2}{(n+1)(n+2)(n+3)}.\tag{1}$$ 恒等式の右括弧内は通分して $$\displaystyle \frac1{(k+2)(k+1)}-\frac1{(k+3)(k+2)}=\frac{2}{(k+1)(k+2)(k+3)}.$$ よって問題の左辺に一致するには $2/p=1$、すなわち $p=2$ である。(1)を $n=1$ から $n-1$ まで加える。$b_1=2/(3\cdot2)=1/3$ であり、上の差の形を用いると途中の項が互いに打ち消し合うので $$\displaystyle b_n=\frac13+\sum\limits _{k=1}^{n-1}\left(\frac1{(k+1)(k+2)}-\frac1{(k+2)(k+3)}\right)=\frac12-\frac1{(n+1)(n+2)}.$$ したがって $$\displaystyle a_n=(n+1)(n+2)b_n=\frac{n(n+3)}2.$$ $n=1$ を代入すると $a_1=2$ となり初期条件とも一致する。

3--2（三角形とベクトル）

余弦定理により $$\displaystyle BC^2=AB^2+AC^2-2\,AB\,AC\cos60^\circ=25+64-80\cdot\frac12=49,$$ なので $BC=7$（長さは正）。角の二等分線定理から $BD:DC=AB:AC=5:8$ である。比の和が $13$ なので $BD=(5/13)BC=35/13$、$DC=(8/13)BC=56/13$ である。$\vec u=\overrightarrow{AB},\vec v=\overrightarrow{AC}$ と置くと、線分上の内分表示より $$\displaystyle \overrightarrow{AD}=\frac{DC}{BC}\vec u+\frac{BD}{BC}\vec v=\frac8{13}\vec u+\frac5{13}\vec v.$$ また $AE:EC=AB:BC=5:7$ なので $\overrightarrow{AE}=5\vec v/12$、従って $$\displaystyle \overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}=-\vec u+\frac5{12}\vec v.$$ 交点を $\overrightarrow{AI}=t\overrightarrow{AD}$ かつ $\overrightarrow{AI}=\vec u+s\overrightarrow{BE}$ と表す。$\vec u,\vec v$ は $\angle BAC=60^\circ$ により平行でなく、係数を比較できる。 $$\displaystyle \frac{8t}{13}=1-s,\qquad \frac{5t}{13}=\frac{5s}{12}.$$ 第二式から $s=12t/13$、第一式へ代入して $20t/13=1$、よって $t=13/20$、$s=3/5$（$0\le t\le1$、$0\le s\le1$ を満たし、指定された両線分上の交点と整合する）。従って $$\displaystyle \overrightarrow{AI}=\frac{13}{20}\left(\frac8{13}\vec u+\frac5{13}\vec v\right)=\frac25\overrightarrow{AB}+\frac14\overrightarrow{AC}.$$

3--3（確率）

異なる2枚の組は $\displaystyle \binom62=15$ 通りで等確率。$X=k$ となる組は $\{1,k\},\ldots,\{k-1,k\}$ の $k-1$ 通りなので $$\displaystyle E(X)=\frac1{15}\sum\limits _{k=2}^6 k(k-1)=\frac{90-20}{15}=\frac{14}{3}.$$ 独立性について、$P(X=6)=5/15=1/3$、$P(Y=1)=5/15=1/3$ だが、両方が同時に起きるのは組 $\{1,6\}$ の1通りのみで $P(X=6,Y=1)=1/15\ne1/9=P(X=6)P(Y=1)$。従って独立ではない。 $$\displaystyle E(XY)=\frac1{15}\sum\limits _{1\le i<j\le6}ij.$$ $1+\cdots+6=21$、$1^2+\cdots+6^2=91$ より、$\displaystyle \sum\limits _{i<j}ij=((\sum\limits _i i)^2-\sum\limits _i i^2)/2=(441-91)/2=175$。従って $E(XY)=175/15=35/3$。