2鹿児島大学 2021年 数学 第2問解答・解説

$0<a<1$ であり、$\displaystyle b=\log_{\frac14}a$ とおく。底 $\displaystyle \frac14$ は $1$ より小さいので対数関数は減少し、$a<1$ から $b>0$ である。

(1) 対数の性質より、$\displaystyle \log_{\frac14}\sqrt a=\frac12\log_{\frac14}a=\frac b2$。また、$\displaystyle \left(\frac18\right)^{-\frac23}=4$ より $\displaystyle \log_{\frac18}4=-\frac23$ である。したがって$$\displaystyle \begin{aligned}f(x)&=x^3+3\left(\frac b2-\frac23\right)x^2-4bx-4\left(\frac b2\right)^3\\&=x^3+\left(\frac{3b}{2}-2\right)x^2-4bx-\frac{b^3}{2}.\end{aligned}$$

(2) この式を微分すると$$f'(x)=3x^2+(3b-4)x-4b=(x+b)(3x-4).$$ よって $f'(x)=0$ となるのは $\displaystyle x=-b,\ \frac43$ である。

(3) $b>0$ なので $\displaystyle -b<\frac43$。導関数 $(x+b)(3x-4)$ は、$x<-b$ で正、$\displaystyle -b<x<\frac43$ で負、$\displaystyle x>\frac43$ で正である。したがって $x=-b$ で極大となる。$$\displaystyle \begin{aligned}f(-b)&=-b^3+\left(\frac{3b}{2}-2\right)b^2+4b^2-\frac{b^3}{2}\\&=2b^2.\end{aligned}$$ 極大値が $\displaystyle \frac92$ だから $\displaystyle 2b^2=\frac92$。$b>0$ より $\displaystyle b=\frac32$ である。ゆえに$$\displaystyle a=\left(\frac14\right)^b=\left(\frac14\right)^{\frac32}=\frac18.$$