1鹿児島大学 2021年 数学 第1問解答・解説

(1) $\alpha,\beta$ は二次方程式 $x^2+px+q=0$ の異なる解なので、解と係数の関係から $\alpha+\beta=-p,\ \alpha\beta=q$ である。よって $$\displaystyle \frac{\alpha^4-\beta^4}{\alpha-\beta} =(\alpha+\beta)(\alpha^2+\beta^2) =(\alpha+\beta)\{(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\} =2pq-p^3.$$

(2) 直角三角形の2辺を $x,y$、斜辺を固定長 $c$ とする。三平方の定理と平方の非負性から $$x^2+y^2=c^2,\qquad (x-y)^2\ge0\quad\text{より}\quad 2xy\le c^2.$$ したがって面積 $S=xy/2$ は $c^2/4$ 以下であり、等号は $x=y$ のときに成り立つ。この等号条件を満たす直角二等辺三角形が存在するので、最大面積は $c^2/4$ である。

(3) $3<\pi<4$ より $$\displaystyle 0<\pi-3<\frac{\pi}{2}-1<1<\pi-2<\frac{\pi}{2}.$$ 正弦関数は $0\le t\le\pi/2$ で増加し、 $$\displaystyle \sin3=\sin(\pi-3),\qquad \cos1=\sin\left(\frac{\pi}{2}-1\right),\qquad \sin2=\sin(\pi-2).$$ 従って $$\boxed{\sin3<\cos1<\sin1<\sin2}.$$