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鹿児島大学／2021年度／前期

鹿児島大学 2021年 数学 第5問解答・解説

平面上の曲線と複素数平面数学的な表現の工夫

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1問題

鹿児島大学2021年度第5問

α\alpha は複素数，AA は実数で ∣α∣2−A>0|\alpha|^{2}-A>0 を満たすものとする。複素数 zz に関する方程式 ∣z∣2+α‾z+αz‾+A=0(★)|z|^{2}+\overline{\alpha}z+\alpha\overline{z}+A=0\tag{★} を (★) とする。ただし，α‾,z‾\overline{\alpha},\overline{z} はそれぞれ α,z\alpha,z の共役複素数とする。

(1) (★) は円を表す方程式であることを示せ。また，この円の中心および半径を α\alpha と AA を用いて表せ。

(2) 複素数平面上の0でない異なる2点 z1,z2z_{1},z_{2} が z1z2‾−z1‾z2=0z_{1}\overline{z_{2}}-\overline{z_{1}}z_{2}=0 を満たすならば，3点 0,z1,z20,z_{1},z_{2} は同一直線上にあることを示せ。ただし，z1‾,z2‾\overline{z_{1}},\overline{z_{2}} はそれぞれ z1,z2z_{1},z_{2} の共役複素数とする。

(3) 複素数平面上の異なる3点 0,z1,z20,z_{1},z_{2} は同一直線上にないものとする。3点 0,z1,z20,z_{1},z_{2} を通る円が (★) で表されるとき，AA の値を求め，さらに α\alpha を z1z_{1} と z2z_{2} を用いて表せ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

解説

(1)では ∣z+α∣2=∣z∣2+α‾z+αz‾+∣α∣2|z+\alpha|^2=|z|^2+\overline\alpha z+\alpha\overline z+|\alpha|^2 を使います。条件 ∣α∣2−A>0|\alpha|^2-A>0 により半径が正です。

(2)の左辺を z2z2‾z_2\overline{z_2} で割ると、z1/z2z_1/z_2 とその共役が等しいことが分かります。したがって比は実数で、二つの複素数は同じ実直線上にあります。

(3)の円は原点を通るので定数項は A=0A=0 です。残りは z1,z2z_1,z_2 を代入した2本の一次方程式です。係数行列の行列式は DD で、非共線なら D≠0D\ne0 です。クラメルの公式で α\alpha を求めると表示式になります。分母が0にならないことが、この表示が定義される根拠です。

連立式からαを消去する計算は、1本目にz₂、2本目にz₁を掛けて差を取ればよい。係数は z1‾z2−z1z2‾=−D\overline{z_1}z_2-z_1\overline{z_2}=-D となり、右辺は −∣z1∣2z2+∣z2∣2z1-|z_1|^2z_2+|z_2|^2z_1。D≠0D\ne0なので割れて、表示式が得られます。

この問題で使う考え方

  • 平方完成
  • 共役複素数の比較
  • 連立一次方程式

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