5新潟大学 2022年 数学 第5問解答・解説

(1) $$z\overline z+\overline\alpha z+\alpha\overline z+\alpha\overline\alpha =(z+\alpha)(\overline z+\overline\alpha).$$

(2) $\alpha=1+i+\beta$ とおくと、与式は $$|z+\alpha|^2=\beta+|\alpha|^2$$ と同値である。左辺と $|\alpha|^2$ は実数だから、解が存在するには $\beta$ が実数でなければならない。$\beta=b\quad(b\text{ は実数})$ とすると $$\beta+|\alpha|^2=b+|1+i+b|^2 =b+(b+1)^2+1=(b+1)(b+2).$$ よって解が存在する条件は $(b+1)(b+2)\ge0$、すなわち $b\le-2$ または $b\ge-1$ である。逆にこの範囲では右辺は非負なので、中心 $-\alpha$、半径 $\sqrt{(b+1)(b+2)}$ の円（半径0の場合は一点）上に解 $z$ が存在する。従って求める $\beta$ の範囲は実軸上の $$\beta\leq-2\text{ または }\beta\geq-1$$ である。

(3) $w=z+\alpha$ とおくと $$|w|=\sqrt{\beta^2+3\beta+2},\qquad |z|=|w-\alpha|\le |w|+|\alpha| =\sqrt{\beta^2+3\beta+2}+\sqrt{(\beta+1)^2+1}.$$ (2) と $|\beta|\le2$ より、可能な $\beta$ は $\beta=-2$ または $-1\le\beta\le2$ である。$\beta=-2$ のとき右辺は $\sqrt2$。一方、$-1\le\beta\le2$ では $t=\beta+1\ (0\leq t\leq3)$ とおくと右辺は $$M(t)=\sqrt{t(t+1)}+\sqrt{t^2+1}.$$ 二つの根号内はいずれも $t\ge0$ で増加するから $M(t)$ は増加し、最大は $t=3$、すなわち $\beta=2$ で得られる。そのとき $|w|=2\sqrt3$、$|\alpha|=\sqrt{10}$ なので三角不等式の等号は $w$ が $-\alpha$ と同じ向きのとき成立する。具体的に $$\displaystyle w=-\frac{2\sqrt3}{\sqrt{10}}(3+i),\qquad z=w-(3+i)=-\left(1+\frac{2\sqrt3}{\sqrt{10}}\right)(3+i).$$ したがって最大値は $\sqrt{10}+2\sqrt3$ であり、上記の $\beta,z$ で実現する。