6新潟大学 2022年 数学 第6問解答・解説

(1) $a_1=10>0$ であり、以下の漸化式からすべての $a_n>0$ である。点 $(a_n,a_n^2)$ での接線の傾きは $f'(a_n)=2a_n$ だから、法線の傾きは $-1/(2a_n)$ である。法線の式は $$\displaystyle y-a_n^2=-\frac{1}{2a_n}(x-a_n).$$ これと $y=x^2$ の交点の $x$ 座標は $$\displaystyle x^2-a_n^2=-\frac{x-a_n}{2a_n} \quad\text{すなわち}\quad (x-a_n)\left(x+a_n+\frac{1}{2a_n}\right)=0.$$ 一方の交点は $x=a_n$、もう一方は $\displaystyle x=-a_n-\frac{1}{2a_n}$ なので $$\displaystyle \boxed{a_{n+1}=a_n+\frac{1}{2a_n}}.$$

(2) 漸化式を平方すると $$\displaystyle a_{n+1}^2=a_n^2+1+\frac{1}{4a_n^2}\ge a_n^2+1.$$ $a_1^2=100$ より帰納的に $a_n^2\ge n+99$、したがって $a_n\ge\sqrt{n+99}$ である。

上側を示すため $b_n=\sqrt{n+99}+1$、$\displaystyle g(t)=t+\frac1{2t}$ とおく。$a_n\ge10$ であり、$t\ge s\ge10$ なら $$\displaystyle g(t)-g(s)=(t-s)\left(1-\frac{1}{2st}\right)\ge0$$ だから $g$ はこの範囲で増加する。また $m=n+99$ とすると $$\displaystyle \sqrt{m+1}-\sqrt m =\frac{1}{\sqrt{m+1}+\sqrt m} \ge \frac{1}{2(\sqrt m+1)},$$ ここでは $\sqrt{m+1}\le\sqrt m+1$ を用いた。ゆえに $$\displaystyle g(b_n)=\sqrt{n+99}+1+\frac{1}{2(\sqrt{n+99}+1)} \le \sqrt{n+100}+1=b_{n+1}.$$ $a_1=10\le b_1=11$ であり、$a_n\le b_n$ なら $a_{n+1}=g(a_n)\le g(b_n)\le b_{n+1}$ となるので、帰納法により $a_n\le\sqrt{n+99}+1$。以上から $$0\le a_n-\sqrt{n+99}\le1,$$ すなわち所望の絶対値の不等式が成り立つ。

(3) (2)の評価を $\sqrt n$ で割ると $$\displaystyle \sqrt{1+\frac{99}{n}} \le\frac{a_n}{\sqrt n} \le\sqrt{1+\frac{99}{n}}+\frac{1}{\sqrt n}.$$ 両端は $1$ に収束する（例えば $\displaystyle \sqrt{1+99/n}-1=\frac{99/n}{\sqrt{1+99/n}+1}\to0$）。はさみうちにより $$\displaystyle \boxed{\displaystyle\lim\limits _{n\to\infty}\frac{a_n}{\sqrt n}=1}.$$