4高知大学 2018年 数学 第4問解答・解説

(1) $x=\tan\theta$（$0\leq\theta\leq\pi/6$）と置換する。端点は $x=0$ で $\theta=0$、$x=1/\sqrt3$ で $\theta=\pi/6$ であり、$dx=d\theta/\cos^2\theta$、$1+x^2=1/\cos^2\theta$ だから $$\displaystyle \int_0^{1/\sqrt3}\frac{1}{1+x^2}\,dx =\int_0^{\pi/6}d\theta =\frac{\pi}{6}.$$

(2) $r=-x^2$ とおくと $r\leq0$ なので $r\neq1$。有限等比級数の和から $$\displaystyle S_n(x)=\sum\limits _{k=0}^{n}(-x^2)^k =\frac{1-(-x^2)^{n+1}}{1+x^2}.$$ 従って $$\displaystyle S_n(x)-\frac{1}{1+x^2} =\frac{(-1)^n x^{2(n+1)}}{1+x^2}, \qquad \left|S_n(x)-\frac{1}{1+x^2}\right| =\frac{x^{2(n+1)}}{1+x^2} \leq x^{2(n+1)},$$ ここで $1+x^2\geq1$ と $x^{2(n+1)}\geq0$ を用いた。

(3) (2)の不等式と積分の三角不等式から $$\displaystyle \begin{aligned} \left|\int_0^{1/\sqrt3}S_n(x)\,dx -\int_0^{1/\sqrt3}\frac{1}{1+x^2}\,dx\right| &\leq \int_0^{1/\sqrt3}x^{2(n+1)}\,dx\\ &\leq \left(\frac1{\sqrt3}\right)^{2(n+1)} \left(\frac1{\sqrt3}\right)\\ &=\left(\frac1{\sqrt3}\right)^{2n+3} =\frac{3^{-n}}{3\sqrt3} \leq3^{-n}. \end{aligned}$$ 2行目では $0\leq x\leq1/\sqrt3$ 上で $x^{2(n+1)}\leq(1/\sqrt3)^{2(n+1)}$ を用いた。

(4) $\displaystyle T_n=\displaystyle\sum\limits _{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{(2k+1)3^k}$ とおく。項別積分により $$\displaystyle \int_0^{1/\sqrt3}S_n(x)\,dx =\sum\limits _{k=0}^{n}(-1)^k\frac{(1/\sqrt3)^{2k+1}}{2k+1} =\frac1{\sqrt3}T_n.$$ (1),(3)から $$\displaystyle \left|\frac1{\sqrt3}T_n-\frac{\pi}{6}\right|\leq3^{-n}\longrightarrow0.$$ よって $$\displaystyle \boxed{\lim\limits _{n\to\infty}\sum\limits _{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{(2k+1)3^k} =\frac{\sqrt3\,\pi}{6}}.$$