1高知大学 2018年 数学 第1問解答・解説

$$\begin{aligned} &f(x)=x^2+x+105,\quad a_1=52,\quad a_{n+1}=f(a_n).\\[2pt] \text{(1)}\quad & x=7k+3\text{したがって} f(x)=49k^2+49k+117\\ &=7(7k^2+7k+16)+5.\\[2pt] \text{(2)}\quad & f(x)\equiv x^2+x\pmod7,\\ &a_1\equiv3\to a_2\equiv5\to a_3\equiv2\to a_4\equiv6\to a_5\equiv0\pmod7,\\ &0^2+0\equiv0\pmod7\text{したがって} a_n\equiv0\pmod7\quad(n\ge5).\\[2pt] \text{(3)}\quad & f(x)\equiv x^2+x\pmod5,\quad 2\to1\to2\to1\to\cdots,\\ &a_n\equiv\begin{cases}2\pmod5&(n\text{ 奇数})\\1\pmod5&(n\text{ 偶数}).\end{cases}\\[2pt] \text{(4)}\quad & d=\gcd(a_{n+1},a_n)\mid(a_{n+1}-a_n(a_n+1))=105.\\ &f(x)\equiv x^2+x\pmod3:\quad1\to2\to0\to0\to\cdots,\\ &3\mid a_n,\quad7\mid a_n\quad(n\ge5),\quad\therefore21\mid d.\\ &5\nmid a_n\text{したがって}5\nmid d.\\ &d\mid105,\quad21\mid d,\quad5\nmid d\text{したがって} d=21\quad(n>4). \end{aligned}$$

各法 $m=7,5,3$ で漸化式は $a_{n+1}\equiv a_n^2+a_n\pmod m$ と簡約できる。mod 7 の剰余軌道は $3,5,2,6,0,0,\ldots$ なので $n\ge5$ で7の倍数。mod 5 は $2,1$ の交互列。mod 3 は $1,2,0,0,\ldots$ で $n\ge3$ で3の倍数。よって $n>4$ では連続項がともに21の倍数。さらに両項の最大公約数は差から105の約数で、mod 5 により5を因数に持たないため21と確定する。