1島根大学 2018年 数学 第1問解答・解説

(1) $n=3q+1$ とおけば $$1+n+n^2=1+(3q+1)+(3q+1)^2=3(3q^2+3q+1),$$ よって $1+n+n^2$ は3の倍数である。

(2) $n$ を3で割った余りで分ける。$n\equiv0\pmod3$ なら $n$ が3の倍数、$n\equiv1\pmod3$ なら(1)より $1+n+n^2$ が3の倍数、$n\equiv2\pmod3$ なら $n+1$ が3の倍数である。従って、いずれの場合も $n(n+1)(1+n+n^2)$ は3の倍数。

(3) $m=k+2$ とおき $$P=n(n+1)\cdots(n+m-2),\qquad S=1+n+n^2+\cdots+n^{m-1}$$ とする。$m=2$ なら $PS=n(n+1)$ は偶数。以下 $m\ge3$ とする。

まず $m$ が素数でも4でもない場合を考える。素因数分解 $\displaystyle m=\prod p^a$ において、各素数 $p$ に対し $p^a\mid m$ かつ $p^{a+1}\nmid m$ とし、$t=m/p^a$ とおく。$j=1,\ldots,a$ に対し、連続する $m$ 個の整数 $n,n+1,\ldots,n+m-1$ の中には $p^j$ の倍数がちょうど $m/p^j$ 個ある。$P$ は最後の整数を除いた積なので、$P$ の素因数に含まれる $p$ の個数は少なくとも $$\displaystyle \sum\limits _{j=1}^{a}\left(\frac{m}{p^j}-1\right) =t(1+p+\cdots+p^{a-1})-a$$ である。$a=1,t\ge2$ なら右辺は $t-1\ge1=a$。$a\ge2,p\ge3$ なら $1+p+\cdots+p^{a-1}\ge2a$。$p=2,a\ge3$ でも $1+2+\cdots+2^{a-1}\ge2a$。残る $p=2,a=2$ では $m\ne4$ より $t\ge2$ なので $3t-2\ge a$。ゆえに、いまの場合は各 $p^a$ が $P$ を割る。異なる素数の冪は互いに素なので $m\mid P$、従って $m\mid PS$。

$m$ が素数 $p$ の場合、連続する $p$ 個の整数 $n,n+1,\ldots,n+p-1$ には $p$ の倍数がちょうど1個ある。それが $P$ に含まれれば $p\mid P$。含まれない場合は最後の $n+p-1$ が倍数で、$n\equiv1\pmod p$。このとき $$S\equiv1+1+\cdots+1=p\equiv0\pmod p,$$ よってどちらの場合も $p\mid PS$。

最後に $m=4$ とする。$n$ が偶数なら $n$ または $n+2$ が4の倍数なので $4\mid P$。$n$ が奇数なら $n+1$ は偶数である。これが4の倍数なら同じく $4\mid P$。そうでなければ $n+1\equiv2\pmod4$、すなわち $n\equiv1\pmod4$。この場合 $$S=1+n+n^2+n^3=(n+1)(n^2+1),$$ ここで $n+1\equiv n^2+1\equiv2\pmod4$ だから $4\mid S$。以上のどの場合も $m\mid PS$。$m=k+2$ を戻せばよい。