4島根大学 2018年 数学 第4問解答・解説

各回の一致・不一致をそれぞれ $1,0$ と表すと、各列は等確率である。

(1) 長さ $4$ の列で最長連続1の長さが $2$ となるのは $$1100,\quad1101,\quad0110,\quad0011,\quad1011$$ の5通り。従って $p(4,2)=5/2^4=5/16$。

(2) 長さ $2k$ の列に長さ $k$ の1ブロックが2つあれば、その間に0が必要で全長が少なくとも $2k+1$ となる。よって該当ブロックは高々1つで、開始位置は $1,\ldots,k+1$。端の2位置では隣接する1箇所を0とし、残り $k-1$ 箇所は自由なので各 $2^{k-1}$ 通り。内部の $k-1$ 位置では両隣を0とし、残り $k-2$ 箇所が自由なので各 $2^{k-2}$ 通り。$k\ge2$ では個数は $$2\cdot2^{k-1}+(k-1)2^{k-2}=(k+3)2^{k-2}.$$ $k=1$ でも列 $10,01$ の2通りで同じ個数式が成り立つ。したがって $$\displaystyle p(2k,k)=\frac{(k+3)2^{k-2}}{2^{2k}}=\frac{k+3}{2^{k+2}}.$$

(3) $\displaystyle A_m=\sum\limits _{k=1}^m k/2^k$ とおくと、有限和から $$\displaystyle A_m=2-\frac{m+2}{2^m},\qquad \sum\limits _{k=1}^m\frac1{2^k}=1-\frac1{2^m}.$$ よって $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^m p(2k,k)=\frac14 A_m+\frac34\sum\limits _{k=1}^m\frac1{2^k}=\frac54-\frac{m+5}{2^{m+2}}.$$ $m/2^m\to0$ および $1/2^m\to0$ より、無限和は $5/4$。

一致を成功、不一致を失敗とする公平な独立二値列として数える。最大連続数がkとなる列をブロックの開始位置で重複なく分け、最後に有限の等比和と重み付き和の極限を取る。