3島根大学 2018年 数学 第3問解答・解説

(1) $O$ と $B$ は直線 $AP$ に関して対称なので $\angle APB=60^\circ$、$\angle OPB=120^\circ$。さらに $A,C$ が $BP$ に関して対称なので $\angle BPC=60^\circ$。対応する半直線の側を考えると $\angle OPC=180^\circ$、よって $O,P,C$ はこの順に一直線上にある。 (2) $OB\perp AP$、$OM=MB=x$。三角形 $OMP$ の角は $90^\circ,60^\circ,30^\circ$ だから $$\displaystyle OP=\frac{2x}{\sqrt3},\quad MP=\frac x{\sqrt3},\quad AP=y+\frac x{\sqrt3}.$$ $PA=PC$ と $\angle APC=120^\circ$ より $\angle PAC=30^\circ$。従って $MQ=y/\sqrt3$、$BQ=x-y/\sqrt3$。 (3) 三角形 $AOM$ で $OA=1$ なので $x=\cos\theta,y=\sin\theta$。$\angle AOP=\theta+30^\circ$ と $\angle OAP=90^\circ-\theta$ により $0<\theta<60^\circ$。この条件から $y/\sqrt3<x$ なので先の $Q$ は確かに $M,B$ の間にある。 $$OC=OP+PC=OP+AP=\sqrt3\cos\theta+\sin\theta=2\sin(\theta+60^\circ).$$ よって $\boxed{\theta=30^\circ}$ のとき最大値2となる。