2島根大学 2018年 数学 第2問解答・解説

(1) $\displaystyle t=\frac\pi4$ では $\displaystyle x=\sin\frac\pi4=\frac1{\sqrt2}$。与えられた式から $$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{2-\pi/\sqrt2}{\pi/\sqrt2}=\frac{2\sqrt2}{\pi}-1.$$ (2) $x=\sin t$ なので $\displaystyle \frac{dx}{dt}=\cos t$。$\displaystyle 0<t<\frac\pi2$ では $\sqrt{1-x^2}=\cos t$ より $$\displaystyle \frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt} =\frac{2-\pi\sin t}{\pi\cos t}\cos t =\frac2\pi-\sin t.$$ (3) $y(0)=0$ を使って積分すると $$\displaystyle y(t)=\int_0^t\left(\frac2\pi-\sin u\right)du =\frac{2t}{\pi}+\cos t-1.$$ これは $\displaystyle t=\frac\pi2$ でも $y=0$ を満たす。 (4) $\displaystyle y'(t)=\frac2\pi-\sin t$ は一度だけ正から負に変わり、両端で $y=0$ だから、$\displaystyle 0<t<\frac\pi2$ で $y(t)>0$。$dx=\cos t\,dt$ を用いると囲まれた面積は $$\displaystyle \int_0^{\pi/2}y(t)\cos t\,dt =\frac2\pi\left(\frac\pi2-1\right)+\frac\pi4-1 =\frac\pi4-\frac2\pi.$$

(1) $t$ を $x=\sin t$ に代入して接線の傾きを整理する。(2) 連鎖律と $\displaystyle \frac{dx}{dt}=\cos t$ を使う。(3) $y$ 方向速度を初期条件 $y(0)=0$ のもとで積分する。(4) 曲線が区間内部で $x$ 軸より上にあることを速度の符号変化で確認し、媒介変数表示による面積積分を計算する。