山形大学 2013年数学第3問解答・解説

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1問題

山形大学2013年度第3問

右向きのx軸と上向きのy軸があり、原点Oを中心とする円Sの右上側の内側に、黒点O′を中心とする円Tが接している。OからO′を通って両円の接点へ向かう実線があり、x軸の正の部分との間にθと反時計回りの弧の矢印が記されている。円Tの下側の円周上に黒点Pが示されている。

R, r を正の実数とし, $2r < R \leq 3r$ とする. 右図のように, 原点 O を中心とする半径 R の固定された円 S の内部に点 O' を中心とする半径 r の円 T があり, 円 T は円 S に接しながらすべらずに転がるものとする. ただし, 点 O' は点 O のまわりを反時計まわりに動くものとする. はじめに点 O' は $(R - r, 0)$ の位置にあり, 円 T 上の点 P は $(R, 0)$ の位置にあるとする. x 軸の正の部分と動径 OO' の

なす角が θ ラジアンのとき，点 P の座標を $(x(\theta), y(\theta))$ とする.このとき，次の問に答えよ.

(1) $x(\theta)$ , $y(\theta)$ を $\theta$ を用いて表せ.

(2) $\displaystyle 0 < \theta < \frac{2r}{R} \cdot \frac{3}{2}\pi$ において, $x(\theta)$ が最小となるときの $\theta$ の値を求めよ.

(3) R = 3, r = 1 とする. θ > 0 で点 P がはじめて x 軸に到達したときの角 θ₀ を求めよ. また, $0 \leq \theta \leq \theta_{0}$ のとき, $y(\theta) \geq 0$ を示せ.

(4) R = 3, r = 1 とする. $0 \leq \theta \leq \theta_{0}$ における点 P の軌跡と x 軸で囲まれた図形の面積を求めよ.

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

小問照合

・ (1) $x=(R-r)\cos\theta+r\cos((R-r)\theta/r)$ 、 $y=(R-r)\sin\theta-r\sin((R-r)\theta/r)$ 。両答案と一致。

・ (2) $\theta=2\pi r/R$ 。積和因数分解と符号判定で一致。

・ (3) $\theta_0=\pi$ 、 $y\ge0$ 。 $y=2\sin\theta(1-\cos\theta)$ で一致。

・ (4) 面積 $\pi$ 。媒介変数積分 $\displaystyle -\int_0^\pi yx'\,d\theta$ で一致。

単元: 数学C（平面曲線・複素数平面）、数学III（微分・積分）。

方法: 無滑り条件、三角関数の和積公式と増減判定、媒介変数面積積分。

テーマ: 内サイクロイドの運動と軌跡面積。

表示留保: 全文production templateのPDFレンダリングは未実施。旧editorial status=NEEDS_REVIEWは履歴情報として保持し、具体的な欠陥とは扱わない。修正稿なし。旧答案保持。actual: UNVERIFIED。

この問題で使う考え方

無滑り条件から回転角を計算
三角関数の和積公式で増減を判定
媒介変数表示の面積積分

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