1山形大学 2013年 数学 第1問解答・解説

三角形の面積を $[XYZ]$ と表す。 (1) Gから各辺への高さを使うと $$\displaystyle \frac{x}{y}=\frac{[GAF]}{[GBF]},\quad \frac{y}{z}=\frac{[GBD]}{[GCD]},\quad \frac{z}{w}=\frac{[GCE]}{[GAE]}.$$ 左辺の積は $$\displaystyle \frac{x}{y}\frac{y}{z}\frac{z}{w} =\frac{[GAF]}{[GCD]}\frac{[GBD]}{[GAE]}\frac{[GCE]}{[GBF]}.$$ 各比を辺2本と挟角で表す。各挟角はGで交わる2直線の対頂角なので等しく、従って $$\displaystyle \frac{[GAF]}{[GCD]}=\frac{GA\,GF}{GC\,GD},\quad \frac{[GBD]}{[GAE]}=\frac{GB\,GD}{GA\,GE},\quad \frac{[GCE]}{[GBF]}=\frac{GC\,GE}{GB\,GF}.$$ 右辺の積は1。よって $x/w=1$、すなわち $w=x$。 (2) 共通する頂点角を持つ三角形の面積比は、隣り合う2辺の比の積である。従って $$\displaystyle [AFE]=\frac{x}{x+y}\frac{w}{z+w}[ABC] =\frac{x^2}{(x+y)(x+z)}.$$ (3) 三角形ABCから3つの隅の三角形を除けば $$\displaystyle [DEF]=1-\frac{x^2}{(x+y)(x+z)} -\frac{y^2}{(x+y)(y+z)} -\frac{z^2}{(y+z)(z+x)} =\frac{2xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}.$$ $\alpha=x/y,\ \beta=y/z$ を代入すると $$\displaystyle [DEF]=\frac{2\alpha\beta}{(1+\alpha)(1+\beta)(1+\alpha\beta)}.$$ (4) 正のtについて $1+t\ge2\sqrt t$（$(\sqrt t-1)^2\ge0$）なので、分母は $8\alpha\beta$ 以上。従って $[DEF]\le1/4$。等号は $\alpha=\beta=1$ のときに限る。これと $w=x$ より $x=y=z=w$、つまりD,E,Fは各辺の中点であり、このとき実際に面積は $1/4$。