3佐賀大学 2013年 数学 第3問解答・解説

(2) 半径1の円柱側面を母線 $\ell$ で切り開くと、母線から角 $\theta$ までの横方向の弧長は $1\cdot\theta=\theta$ である。縦座標は高さ $z$ だから、展開図上の曲線は $$z=\sin\theta\qquad(0\le\theta\le2\pi)$$ という正弦曲線1周期である。$\theta=0,2\pi$ は切断線 $\ell$ の両端に対応し、どちらも $A$ で $z=0$。$\theta=\pi/2,3\pi/2$ でそれぞれ $z=1,-1$、$\theta=\pi$ で再び0となる。

(3) $Y$ 軸の正方向の単位ベクトルは $\boldsymbol u=(0,1/\sqrt2,1/\sqrt2)$。$x$ 軸方向の単位ベクトル $\boldsymbol e=(1,0,0)$ と直交する。平面 $\alpha$ 上の点 $(x,y,y)$ は $$(x,y,y)=x\boldsymbol e+Y\boldsymbol u$$ と表されるので $Y=\sqrt2\,y$ である。(1)より $x=\cos\theta$, $Y=\sqrt2\sin\theta$。従って $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ から $$\displaystyle \boxed{x^2+\frac{Y^2}{2}=1}.$$ これは中心 $O$、$x$ 方向の半軸1、$Y$ 方向の半軸 $\sqrt2$ の楕円で、$A=(1,0)$ を通る。

円柱は x²+y²=1。平面αはx軸を含むため、yz平面内の方向とxy平面内のy軸方向との角がπ/4である。図では正Y方向が正yから正z側へ傾くのでαは z=y。 (1) Qの偏角はθだからQ=(cosθ,sinθ,0)、PはQの真上でα上にありP=(cosθ,sinθ,sinθ)。 (2) 半径1の円柱の側面をℓに沿って切り開くと、横方向の弧長はθで縦座標がz。従って展開図上の曲線は z=sinθ、0≦θ≦2π。θ=0,2πの両端はいずれもAに対応し、間に最大1、最小−1をもつ正弦曲線1周期である。 (3) αとyz平面の交線Yの単位方向ベクトルは (0,1/√2,1/√2)。α内の点は (x,y,y)=x(1,0,0)+Y(0,1/√2,1/√2) と表せるのでY=√2y。したがって x=cosθ,Y=√2sinθであり、θを消去すると x²+Y²/2=1。これは中心O、x方向半軸1、Y方向半軸√2の楕円である。各小問の概形を添付図に示す。