1佐賀大学 2013年 数学 第1問解答・解説

(1) $\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$ なので $\tan\theta$ と $\tan2\theta$ は定義され、いずれも0でない。正接の倍角公式から $$\displaystyle \tan2\theta=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta},\qquad \frac{1}{\tan2\theta}=\frac{1}{2\tan\theta}-\frac{\tan\theta}{2}.$$ 従って $$\displaystyle \frac{1}{2\tan\theta}-\frac{1}{\tan2\theta}=\frac12\tan\theta.$$

(2) $k=1,2,\ldots,n$ とし $\theta=2^{-k}$ とおく。このとき $\displaystyle 0<\theta\le\frac12<\frac{\pi}{4}$ なので(1)を使える。両辺に $2^{-(k-1)}$ を掛けると $$\displaystyle a_k=\frac{1}{2^k\tan(2^{-k})}-\frac{1}{2^{k-1}\tan(2^{-(k-1)})}.$$ $\displaystyle b_k=\frac{1}{2^k\tan(2^{-k})}\ (k\ge0)$ とおけば $a_k=b_k-b_{k-1}$。よって、和をとると途中の項が相殺され $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^n a_k=b_n-b_0 =\frac{1}{2^n\tan(2^{-n})}-\frac{1}{\tan1}.$$

(3) $x_n=2^{-n}$ とおくと $x_n\to0^+$。$\displaystyle \lim\limits _{x\to0}\sin x/x=1$ と $\displaystyle \lim\limits _{x\to0}\cos x=1$ から $\displaystyle \lim\limits _{x\to0}\tan x/x=1$ である。従って $$\displaystyle b_n=\frac{1}{2^n\tan(2^{-n})}=\frac{1}{\tan x_n/x_n}\longrightarrow1.$$ (2)の部分和の極限より $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{\infty}a_k=1-\frac{1}{\tan1}.$$

(1) 正接の倍角公式 $\displaystyle \tan2\theta=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}$ の逆数をとって右辺を直接計算し、左辺の $\displaystyle \frac12\tan\theta$ に一致することを示す。(2) (1)の等式に$\displaystyle \theta=\frac{1}{2^k}$（$k=1,\ldots,n$）を代入し両辺を$\displaystyle \frac{1}{2^{k-1}}$倍すると、$a_k=b_k-b_{k-1}$（$\displaystyle b_k=\frac{1}{2^k\tan(1/2^k)}$）という階差の形が得られるので、途中の項を相殺して $\displaystyle \sum a_k=b_n-b_0$ を計算する。(3) $\displaystyle \lim\limits _{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1$ を用いて $b_n$ の $n\to\infty$ での極限を求め、(2)の結果に適用して無限級数の和を得る。