1東京大学 2018年 数学 第1問解答・解説

$0<x<\pi$ では $\sin x>0$ である。微分すると $$\displaystyle \begin{aligned} f'(x)&=\frac{\sin x-x\cos x}{\sin^2x}-\sin x\\ &=\frac{\cos x(\sin x\cos x-x)}{\sin^2x}. \end{aligned}$$ $g(x)=x-\sin x\cos x$ とおくと $g(0)=0$ であり、 $$g'(x)=1-(\cos^2x-\sin^2x)=2\sin^2x>0\qquad(0<x<\pi).$$ したがって $g(x)>0$。よって $f'(x)=-g(x)\cos x/\sin^2x$ から $$f'(x)<0\ (0<x<\pi/2),\qquad f'(\pi/2)=0,\qquad f'(x)>0\ (\pi/2<x<\pi).$$ また $$\displaystyle \lim\limits _{x\to+0}f(x)=\lim\limits _{x\to+0}\frac{x}{\sin x}+\lim\limits _{x\to+0}\cos x=2.$$ $x\to\pi-0$ では $x\to\pi>0$、$\sin x\to0+$、$\cos x\to-1$ より $$\displaystyle \lim\limits _{x\to\pi-0}f(x)=+\infty.$$ さらに $f(\pi/2)=\pi/2$ なので、$f$ は $0<x<\pi/2$ で減少し $\pi/2<x<\pi$ で増加する。 増減表は次のとおりである（両端は定義域に含まれず極限値を記す）。 $$\begin{array}{c|ccccc} x&0&\cdots&\pi/2&\cdots&\pi\\\hline f'(x)&&-&0&+&\\\hline f(x)&2&\searrow&\pi/2&\nearrow&+\infty \end{array}$$

$0<x<\pi$ではsin x>0。微分すると $\displaystyle f'(x)=\frac{\cos x(\sin x\cos x-x)}{\sin^2x}$。$g(x)=x-\sin x\cos x$ と置けばg(0)=0、$g'(x)=2\sin^2x>0$だからg(x)>0。よってf′の符号は$-\cos x$の符号となり、前半で負、後半で正。$x\to0^+$では$\displaystyle \frac{x}{\sin x}\to1$、$\cos x\to1$なので極限2。$x\to\pi^-$では$\displaystyle \frac{x}{\sin x}\to+\infty$、$\cos x\to-1$なので極限は+∞。 増減表は次のとおりである（両端は定義域に含まれず極限値を記す）。 $$\begin{array}{c|ccccc} x&0&\cdots&\pi/2&\cdots&\pi\\\hline f'(x)&&-&0&+&\\\hline f(x)&2&\searrow&\pi/2&\nearrow&+\infty \end{array}$$