4東京大学 2018年 数学 第4問解答・解説

$f(x)=x^3-3a^2x$ を微分すると $f'(x)=3(x^2-a^2)$ である。$a>0$ より、$x=-a$ で極大値 $2a^3$、$x=a$ で極小値 $-2a^3$ をとり、$f$ は $-a<x<a$ で減少する。

方程式 $f(x)=b$ が相異なる3実数解をもつための条件は、水平線 $y=b$ がこの極大値と極小値の間を通ること、すなわち $$-2a^3<b<2a^3$$ である。このとき3解は $\alpha<-a<\beta<a<\gamma$ と並び、中央の解 $\beta$ は $-a<\beta<a$ を満たす。

$\beta>1$ となるには $a>1$ が必要である。逆に $a>1$ なら $-a<1<a$ であり、$f$ はこの区間で減少するから、 $$\beta>1\quad\text{すなわち}\quad f(\beta)<f(1) \quad\text{すなわち}\quad b<1-3a^2.$$ また $a>1$ では $1-3a^2<2a^3$ なので、条件1と合わせると $$a>1,\qquad -2a^3<b<1-3a^2$$ を得る。この範囲は空でない。実際、 $$(1-3a^2)-(-2a^3)=2a^3-3a^2+1=(a-1)^2(2a+1)>0 \quad(a>1).$$ したがって座標平面では、横軸を $a$、縦軸を $b$ とし、$a>1$ において下側の曲線 $b=-2a^3$ と上側の曲線 $b=1-3a^2$ の間を図示する。両曲線上および交点 $(1,-2)$ は含まない。

図示：添付の diagram.svg は領域 $a>1,\ -2a^3<b<1-3a^2$ を示す。破線の両境界および点 $(1,-2)$ は含まない。