東京大学 2018年数学第5問解答・解説

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1問題

東京大学2018年度第5問

複素数平面上の原点を中心とする半径1の円を C とする。点 P(z) は C 上にあり，点 A(1) とは異なるとする。点 P における円 C の接線に関して，点 A と対称な点を Q(u) とする。w = 1/(1 − u) とおき，w と共役な複素数を w̄ で表す。

(1) u と w̄/w を z についての整式として表し，絶対値の商 |w + w̄ − 1|/|w| を求めよ。

(2) C のうち実部が 1/2 以下の複素数で表される部分を C′ とする。点 P(z) が C′ 上を動くときの点 R(w) の軌跡を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

解答を見る答えはこの解答の中にあります

小問照合

・ (1) $u=2z-z^2$ 、 $\overline w/w=z^2$ 、絶対値の商は2。接線反射から $1-u=(z-1)^2$ として両旧答案に一致。

・ (2) $x=1/4-y^2$ 、 $-\sqrt3/2\le y\le\sqrt3/2$ の放物線弧。 $z=e^{it}$ 、 $\pi/3\le t\le5\pi/3$ の媒介表示で両旧答案に一致。

単元: 数学C（複素数平面）。

方法: 単位円接線に関する反射、共役を $1/z$ に置換、偏角媒介変数と半角恒等式。

テーマ: 円上の接線反射を複素式で表し、円弧を放物線弧へ写す。

留保: 全文production-template PDFは未render。旧editorial status NEEDS_REVIEWは履歴情報として保持し、確認済みの表示欠陥ではない。修正稿なし。旧答案は保持。actual: UNVERIFIED。

この問題で使う考え方

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