3金沢大学 2018年 数学 第3問解答・解説

楕円 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ と直線 $x+y=c$ の交点を調べるため $y=c-x$ を代入すると $$(a^2+b^2)x^2-2a^2cx+a^2(c^2-b^2)=0.$$ 接する条件はこの二次方程式の判別式が0であることだから $$\Delta=4a^2b^2(a^2+b^2-c^2)=0.$$ $a,b>0$ より $c^2=a^2+b^2$。重解は $$\displaystyle x=\frac{a^2c}{a^2+b^2}=\frac{a^2}{c},\qquad y=c-x=\frac{b^2}{c}.$$ 対称性から4つの接点は $(\pm a^2/c,\pm b^2/c)$ となり、結んだ四角形は縦横 $2b^2/c,\,2a^2/c$ の長方形である。従って $$\displaystyle S=\frac{4a^2b^2}{c^2},\qquad T=\pi ab, \qquad\frac ST=\frac{4ab}{\pi(a^2+b^2)}\le\frac2\pi.$$ 最後は $a^2+b^2\ge2ab$、すなわち $(a-b)^2\ge0$ による。等号は $a=b$ のときに限る。このとき $c^2=2a^2$ より $a=b=c/\sqrt2$。