金沢大学 2018年数学第4問解答・解説

1問題

金沢大学2018年度第4問

座標空間において，原点 $(0,0,0)$ と点 $(1,1,-3)$ を通る直線を $\ell$ ，2つの点 $(-6,6,0),(1,2,1)$ を通る直線を $m$ とする。直線 $\ell$ 上の点 $P$ と直線 $m$ 上の点 $Q$ を，直線 $PQ$ が直線 $\ell,m$ のいずれにも直交するようにとる。次の問いに答えよ。

(1) $|\overrightarrow{PQ}|$ を求めよ。

(2) $A$ を直線 $\ell$ 上の点， $B$ を直線 $m$ 上の点とする。ただし， $A\ne P$ とする。このとき， $\displaystyle \angle APB=\frac{\pi}{2}$ であることを示せ。

(3) 直線 $\ell$ 上の2点 $A,C$ をそれらの中点が $P$ となるようにとる。同様に，直線 $m$ 上の2点 $B,D$ をそれらの中点が $Q$ となるようにとる。 $|\overrightarrow{PA}|=a,|\overrightarrow{QB}|=b$ のとき，三角形 $BDP$ の面積と四面体 $ABCD$ の体積を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

（1） $|\overrightarrow{PQ}|=\sqrt6$ 。（2）任意の $A\ne P$ 、 $B$ について $\displaystyle \angle APB=\frac\pi2$ 。（3）三角形 $BDP$ の面積は $\sqrt6\,b$ 、四面体 $ABCD$ の体積は $\displaystyle \frac{2\sqrt6}{3}ab$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$\boldsymbol u=(1,1,-3)$ 、 $\boldsymbol v=(7,-4,1)$ 、 $R=(-6,6,0)$ とおく。 $\boldsymbol u\cdot\boldsymbol v=0$ 、 $R\cdot\boldsymbol u=0$ 、 $R\cdot\boldsymbol v=-66$ 、 $|\boldsymbol v|^2=66$ 。

(1) $P=s\boldsymbol u$ 、 $Q=R+t\boldsymbol v$ と書く。 $\overrightarrow{PQ}\cdot\boldsymbol u=0$ より $s=0$ 、 $\overrightarrow{PQ}\cdot\boldsymbol v=0$ より $t=1$ 。したがって $P=(0,0,0)$ 、 $Q=(1,2,1)$ 、 $|PQ|=\sqrt6$ 。

(2) $\overrightarrow{PA}$ は $\boldsymbol u$ に平行、 $\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QB}$ は $\boldsymbol u$ と垂直である。 $A\ne P$ かつ $B\ne P$ なので $\angle APB=\pi/2$ 。

(3) $PQ\perp BD$ 、 $|BD|=2b$ だから三角形BDPの面積は $\displaystyle \frac12(2b)\sqrt6=\sqrt6 b$ 。直線ACは平面BDP内の二方向BD,PQのいずれにも垂直である。A,Cから平面BDPへの高さはいずれも $a$ 、両点は平面の反対側にある。ゆえに四面体の体積は $\displaystyle V=\frac13\sqrt6 b\,a+\frac13\sqrt6 b\,a=\frac{2\sqrt6}{3}ab.$

この問題で使う考え方

内積
直線の媒介変数
体積

1問題

2答え

3解答

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